To‘G‘ri o‘tkazgich va aylanma halqaning magnit maydonini o’lchash ishning maqsadi

Bio-Saavar-Laplas qonuni. Dastlab, alohida tok elementi hosil qilgan magnit maydon induksiyasini topadigan formulani keltirib chiqarish kerak. Bu yerda izolyatsiyalangan tok elementlari orqali tajribadan keyin, cheksiz uzunlikdagi turli shakldagi o‘tkazgichlarning hosil qilgan magnit maydonini tahlil qilish orqali bilvosita magnit induksiyasini aniqlanadigan formulani topishga harakat qilamiz. Bu masalani Bio-Saavar-Laplas qonuni ham deb ataladi va XB sistemasida quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(6)
Bu formulada r -radius-vektor bo‘lib, tok elementi I dl dan vektor aniqlanayotgan maydon nuqtasiga o‘tkazilgan yo‘nalishdagi masofani bildiradi (3-rasm). ₀=4*10^-7 Gn/m -magnit doimiylik, -nisbiy magnit singdirvchanlik. vektorining moduli uchun, (6) ga asosan quyidagiga ega bo‘lamiz:
(7)
Bu yerda - tok elementi I dl bilan, radius-vektor r orasidagi burchak, vektorning yo‘nalishi vektor ko‘paytma [Idlr] yo‘nalishi bilan mos keladi va Parma qoidasi bilan aniqlanadi.
Ma’lumki, kattalik faqat masofa r ga bog‘liq bo‘lmasdan, 

3 - rasm
burchakka ham bog‘liqdir, agar =0 bo‘lsa, magnit induksiyasi nolga teng va  ning /2 ga yaqinlashishi bilan U oshadi.
Superpozitsiya prinsipini qo‘llab Bio-Saavar-Laplas qonuni orqali har qanday tokli o‘tkazgichning magnit maydonini hisoblash imkoniyatiga ega bo‘lamiz. Ikkita misol keltiramiz.
To‘g‘ri tokli o‘tkazgichning magnit maydoni. Qandaydir yupqa tokli o‘tkazgich to‘g‘ri qismga ega bo‘lsin. Ana shu to‘g‘ri chiziqli qism hosil qilgan magnit maydon induksiyasini hisoblaymiz. Maydonning qaralayotgan nuqtasidan o‘tkazgichgacha bo‘lgan masofani dx bilan belgilaymiz, o‘tkazgich bo‘ylab koordinatani 0 nuqtadan boshlab X o‘qini o‘tkazamiz (4-rasm).

4-rasm

Koordinatasi x va uzunligi dl=dx bo‘lgan o‘tkazgich tok elementining A nuqtada hosil qilgan magnit induksiya vektori Bio-Saavar-Laplas qonuniga ko‘ra:

(8)
ga teng bo‘ladi.
(7) va Parma qoidasidan foydalanilsa, o‘tkazgichning barcha kichik elementlari hosil qilgan vektorlari bir hil yo‘nalishga, chizma orqasi tomon yo‘nalgan bo‘ladi va (+) bilan belgilanadi. Shuning uchun yig‘indi vektor ham shu yo‘nalishga tomon bo‘ladi, uning absolyut miqdori barcha larning absolyut miqdorlarining yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni quyidagi aniq integral bilan ifodalanadi:
(9)
Bu integralni hisoblash uchun o‘zgaruvchi  ni r va dx orqali ifodalash kerak.
4-rasmdan ko‘rinadiki, x=bctg(-)=bctg, buni differensiallasak, dx=bd/sin² ni hosil qilamiz. r uchun esa r=b/sin(-)=b/sin. Bularni (9) ga qo‘ysak, u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(10)
bu yerda ₁ va ₂ lar  ning chegaraviy qiymatlari bo‘lib, To‘g‘ri chiziqli o‘tkazgichning oxirlariga to‘g‘ri keladi. Ideal holda cheksiz uzunlikdagi To‘g‘ri chiziqli o‘tkazgich uchun 0 va ₂ bo‘ladi, u vaqtda (10) formula quyidagicha ko‘rinishga keladi:
(11)
Bu formula taxminan to‘g‘ri chiziqli o‘tkazgichning o‘rtasiga to‘g‘ri kelgan maydonni aniqlashga imkon beradi.
To‘g‘ri chiziqli cheksiz uzunlikdagi o‘tkazgichning magnit induksiya chiziqlarining manzarasi esa 2 a rasmda ko‘rsatilgan.
Bio-Savar-Laplas qonuni bo‘yicha C nuqtada o‘tkazgichning elementar qismi dl tomonidan hosil qilingan magnit induksiyasi (5-rasm) quyidagiga teng:



5-rasm


(12)
Mazkur holda C nuqtada vektor perpendikulyar yo‘nalgan. Xuddi shunday yo‘nalishga o‘tkazgichning boshqa elementlari hosil qilgan magnit induksiya vektori ham ega bo‘ladi. Bu esa (12) dagi vektorni yig‘indi algebraik ifoda bilan almashtirishga imkon beradi.
Shunday qilib, C nuqtada l tokli o‘tkazgich tomonidan hosil qilingan yig‘indi induksiyani topish uchun (12) ifodaning yig‘indisini olish kerak, yoki integrallash kerak. Buning uchun r va dl ni o‘zgaruvchi orqali ifodalaymiz. Rasmdagi ANC uchburchakdan
, (13)
Bu yerda r₀ – C nuqtadan o‘tkazgich yo‘nalishiga tushirilgan perpendikulyarning uzunligi.
MNK uchburchakdan quyidagini topamiz
(14)
dl juda kichik bo‘lgani uchun, CM=CK=r deb olish mumkin. Shuning uchun
(15)
r va dl ning qiymatlarini (15) formulaga qo‘ysak,
(16)
C nuqtada l uzunlikdagi tokli o‘tkazgichning hosil qilgan magnit maydon induksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
(17)
Bu yerda va - o‘tkazgich boshlang‘ich va oxirgi uchlaridan C nuqtaga o‘tkazilgan radius-vektorlar bilan o‘tkazgichning yo‘nalishi orasidagi burchaklar.
Keyingi ifodani integrallasak, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(18)
Agar o‘tkazgich cheksiz uzun bo‘lsa ( ), u holda bo‘ladi. U vaqtda . U holda formula (18) quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(19)