Tojiboyeva zumradning matematik fizika tenglamalari fanidan

Yakobi ko‘phadlari. Quyidagi

ko‘phadlar Yakobi ko ‘phadlari deyiladi. Ular [-1,1] oraliqda

vazn funksiya bilan ortogonal ko‘phadlar sistemasini tashkil etadi. Ularning normalari:

U lar uchun quyidagi rekurrent formula o‘rinli:

L ejandr ko‘phadlari. Yakobi ko‘phadlarining a = p = 0 va p(x) = 1 bo‘lgandagi xususiy holi Lejandr ko'phadlari deb yuritiladi va ular Rodriga formulasi
b ilan aniqlanadi. Ularning normalari
b o‘lib, rekurrent munosabat esa

dan iborat.

2 .2 LEJANDR KO’PHADI
ko’rinishdagi tenglamaga Lejandr tenglamasi deyiladi. ᴫ-parametir, x= 1 nuqtada maxsuslikka ega. Quydagi chegaraviy masalani qaraymiz: x=1 maxsus nuqtalarda chegaralangan [-1,1] oraliqda – tenglamaning trivial bo’lmagan yechimi mavjud bo’ladigan parametirlarning qiymatini toping. Lejandr tenglamasining yechimini

Darajali qator ko’rinishda izlaymiz

yoki
kelib chiqadi.

a ₀ va a₁ koyfisentlar ixtiyoriy bo’lib qoladi a_0≠0, a_1≠0 x- ning faqat juft darajalarini saqlovchi tenglamaning xususiy yechimini a_0≠0, a_1≠0 x –ning faqat tor darajalarning saqlovchi xususiy yechimini hosil qilamiz. л=n(n+1) bo’lganda tenglamaning yrchimi n darajali ko’p had ko’rinishida bo’lib x=±1 nuqtalarda chegaralangan.
Endi

T englamning n darajali ko’p had ko’rinishi shaklidagi nolmas yechimini topamiz.

D arajasi 2n bo’lgan ko’p hadni qaraymiz;
Osongina ko’rinish mumkinki, bu ko’p had quydagicha
differensial tenglamni qanoatlantiradi
B u tenglamaning ikkala tamonini x bo’yicha n marotoba differensiallab quyidagini hosil qilamiz

A gar bu tenglamani x bo’yicha yana bir marta differensiallasak zⁿ tenglamani qanoatlantiradi. Shunday qilib tenglama

y echimga ega bo’ladi, bu yerda C- o’zgarmas deb
hosil qilamiz.
B u Lejandr ko’p hadi bo’lib л=n(n+1) bo’lganda tenglamaning yechimidan iboratdir. Shunday qilib Lejandr ko’p hadi qaralayotgan masalada n=n(n+1)(n=0,1,2.3,,,,,) xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyadan iboratdir, formula bo’yicha hisoblab

va hakozo.

O ddiy elektrostatik masaladan boshlaylik. z = a nuqtada joylashgan q zaryad A nuqtada quyidagi potensial hosil qiladi:

Rasmdan ko’rinib turibdiki,

B u formulani masalaning geometriyasidan kelib zaryad chiqadigan vektor munosabatdan keltirib chiqarish qiyin emas:

D emak,

ekan. Quyidagini faraz qilib: r ≫ a, olingan ifodani a/r bo’yicha qatorga yoyaylik. Qator koeffisientlari faqat cosθ ning funksiyasi bo’lishi mumkin:

Hosil bo’lgan qatorning koeffisientlari Pn(cosθ) Lejandr polinomlari deyiladi. Ularni quyidagi hosil qilish funksiyasi orqali ta’riflash qulaydir: