Toʻla differentsialli tenglama. Reja

Toʻla differentsialli tenglama.
Reja.

1. 
   Bernulli tenglamasi.
   
2. 
   Toʻla differensial tenglama.
   
3. 
   Integrallovchi koʻpaytuvchi va uni tanlash usullari.
   

1.Bernulli tenglamasi.

Ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi. Bu yerda , ya’ni intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.
Agar bo’lsa, u holda

chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
Agar bo’lsa, u holda

bir jinsli chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
1-usul. Aytaylik, bo’lsin. Ko’rinib turibdiki, (1) differensial tenglamaning yechimidan iborat. Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamaning ikki tomonini ga bo’lib ushbu
(2)
differensial tenglamani hosiln qilamiz. Bunda
(3)
almashtirishni bajaramiz. Quyidagi

munosabatlardan foydalanib (2) tenglamani ushbu

ya’ni

ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamadir. Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi 3-mavzudagidek topiladi, hamda z o‘rniga ni qo‘yib, Bernulli tenglamasining umumiy yechimi topiladi.
y ning darajasidagi n–musbat ham (n>0), manfiy ham (n<0), kasr son ham boʻlishi mumkin.
Bernulli tenglamasi turli xil koʻrinishlarda berilishi mumkin:




Мисол. еки .
Bu Bernulli tenglamasidir. Bu erda .
Tenglamani ga bulamiz: .
deb belgilaymiz, unda .
Demak, yoki .
Buerdan .
va –mahsus yechim.
3.Toʻla differensialli tenglama.
Agar differensial tenglamada funksiya topilsaki,

boʻlsa,

boʻlib, umumiy yechim

koʻrinishda boʻladi.
Agar differensial tenglama uchun

shart bajarilsa, u holda differensial tenglama toʻla differensialga keladi va funksiya quyidagicha koʻrinishda qidiriladi:
1-usul: shartdan y ni oʻzgarmas deb olib, x boʻyicha integral olamiz, constantani y ga bogʻliq funksiya qilib olib

ikkinchi shartni ham bajarilishini talab qilib, ni ham koʻrinishini aniqlaymiz.
2-usul: shartdan x ni oʻzgarmas deb olib, y boʻyicha integral olamiz, constantani x ga bogʻliq funksiya qilib olib

birinchi shartni ham bajarilishini talab qilib, ni ham koʻrinishini aniqlaymiz.
Misol.
Differensial tenglama toʻla differensialga keltirilish shartini tekshiramiz


shart bajarildi, u holda
1-usul.
=
ni topish uchun ikkinchi shartni bajarilishini talab qilamiz:


2-usul.

ni topish uchun birinchi shartni bajarilishini talab qilamiz:



Eslatma: Agar ni funksiyaga koʻpaytirish natijasida toʻla differensialga aylansa, ga integrallovchi koʻpaytuvchi deyiladi. Agar M(x,y) va N(x,y) funksiyalar uzluksiz xususiy hosilalarga ega va bir vaqtni oʻzida nolga aylanmasa, u holda integrallovchi koʻpaytuvchi mavjud. Lekin uni qidirishning umumiy usuli mavjud emas.

4.Integrallovchi koʻpaytuvchi va uni tanlash usullari.

Aytaylik quyidagicha differensial tenglama
(26)
berilgan boʻlib, P(x,y) va Q(x,y) lar ikkita oʻzgaruvchi x va y larning funksiyasi boʻlib, biror bir D sohada uzluksiz boʻlsin. Agar

boʻlsa, u holda tenglama toʻla differensialli tenglama boʻlmaydi. Biroq integrallovchi koʻpaytuvchini tanlashga urinib koʻrishimiz mumkin. Agar (26) tenglamani funksiyaga koʻpaytirish natijasida toʻla differensialga aylansa, ga integrallovchi koʻpaytuvchi deyiladi. U holda quyidagicha tenglik oʻrinli boʻladi:

Ushbu shartni quyidagicha koʻrinishda yozish mumkin:


Oxirgi ifoda birinchi tartibli xususiy hosilali tenglama boʻlib, integrallovchi koʻpaytuvchi ni aninqlaydi. Integrallovchi koʻpaytuvchini topishning umumiy usuli mavjud emas, lekin ayrim xususiy hollarda olingan xususiy hosilali tenglamani yechib, natijada integrallovchi koʻpaytuvchini aniqlash mumkin.

1. 
   Integrallovchi koʻpaytuvchi x oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlsa:
   

Bunday holda boʻlib, shuning uchun ham uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu tenglamaning oʻng tomoni faqat x ning funksiyasi
(27)
bo‘lsa, u holda funksiyani oxirgi tenglamani integrallash orqali topish mumkin, ya’ni

bo‘ladi.

2. 
   Integrallovchi koʻpaytuvchi y oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlsa:
   

Oldingi holatdagidek, bu holda boʻlib, shuning uchun ham uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu tenglamaning oʻng tomoni faqat y ning funksiyasi
(28)
bo‘lsa, , u holda funksiyani oxirgi tenglamani integrallash orqali topish mumkin, ya’ni

bo‘ladi.
4-misol. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yechimini tоping.
►Bu yerda to‘la differensiallik sharti bajarilmaydi.(27) yoki (28) shartlarni tekshiramiz:
.
Demak, (27) shart bajariladi, formuladan foydalanamiz:


Berilgan tenglamani ga ko‘paytiramiz:

Hosil bo‘lgan tenglama to‘la differensial tenglama ekanini tekshiramiz:





yoki .
_Demak,
Berilgan tenglamaning umumiy yechimi esa
.◄

3. 
   Integrallovchi koʻpaytuvchi x va y oʻzgaruvchilarning aniq bir kombinatsiyalariga bogʻliq bolsa:
   

Yangi z(x,y) funksiya masalan quyidagicha koʻrinishlarda boʻlishi mumkin:

Bunda muhimi shundaki, integrallovchi koʻpaytuvchi bitta z oʻzgaruvchining funksiyasi sifatida keladi:

va quyidagicha differensial tenglamadan topiladi:

Oʻng tomon faqat z ga bogʻliq va maxraj nolga teng emas deb faraz qilinadi.
Misol. differensial tenglama yechhilsin.
Boshlanishida tenglama toʻla differensialli tenglama ekanligini tekshiramiz:

Koʻrinib turibtiki xususiy hosilalar bir-biriga teng emas, demak tenglama toʻla differensiallanuvchi tenglamaga kelmaydi. Toʻla differensiallanuvchi koʻrinishga olib kelish uchun integrallovchi koʻpaytuvchini tanlashga harakat qilib koʻramiz:
Quyidagicha funksiyani hisoblaymiz:

Koʻrinib turibtiki:
Ifoda faqat x oʻzgaruvchiga bogʻliq, demak integrallovchi koʻpaytuvchi ham faqat x ga bogʻliq boʻladi: , uni esa quyidagi tenglamadan topamiz:

=x ni tanlaymiz va berilgan differensial tenglamani x ga koʻpaytiramiz. Natijada toʻla differensialli tenglamaga kelamiz:

Endi toʻla differensiallilik sharti bajariladi:

u(x,y) funksiyani tenglamalar sistemasidan aniqlash mumkin:

Birinchi tenglamadan

Ushbu ifodani ikkinchi tenglamaga qoʻyib ni aniqlaymiz:

, bunda C – ixtiyoriy konstanta
Shunday qilib, differensial tenglamaning umumiy yechimi
.