To’liq aniqlangan Bul funksiyalari. Karno kartalar yordamida mantiqiy funksiyalarni minimallashtirish. Bul algebrasining asosiy tushunchalari

х1	х2
у = х1+ х2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Konyunksiya amali haqiqiylik jadvali

3 –jadval

х1	х2	у = х1· х2
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Mantiq algebrasining asosiy aksioma va qonunlari

4 –jadval

Aksiomalar	0+х=х 0·х=0
	1+х=х 1·х=х
	х+х=х х·х=х
	х+ =1 х· =0
	=
Kommutativlik qonunlari	х1+ х2= х2+ х1 х1 · х2= х2· х1
Assosiativlik qonunlari	х1+ х2+ х3= х1+ (х2+ х3) х1 · х2 · х3= х1 · (х2 · х3)
Distributlik qonunlari	х1 · (х2 + х3) = (х1 · х2) + (х1 · х3) х1 + (х2 · х3) = (х1 + х2) · (х1 + х3)
Duallik qonunlari (de-Morgan teoremasi)
Yutilish qonunlari	х1+ х1· х2= х1 х1 · (х2 + х2) = х1

Mantiqiy amallarni ko‘rib chiqish uchun 4-jadvalda keltirilgan aksioma va qonunlar qatoridan foydalanamiz.

Assotsiativlik qonunlaridan foydalanib, ko‘p o‘zgaruvchi (n>2) ixtiyoriy mantiqiy funksiyasini ikkita o‘zgaruvchi funksiyalar kombinatsiyasi ko‘rinishida ifodalash mumkin. Funksiyalarning xar biri х₁ va х₂ o‘zgaruvchilar ustidan amalga oshirish mumkin bo‘lgan 16 ta mantiqiy amal kombinasiyadan birini bildiradi va ular o‘z nomi va shartli belgisiga ega.
Bul algebrasi yordamida mantiqiy sxemalarni tuzishda zarur sodda sxemalar sonini minimallash mumkin. Lekin, bul algebrasini yaxshi bilgan holdagina bunday natijalarga erishi mumkin. Optimallash (minimallash)ning boshqa grafik usuli - Karno kartalarini qo‘llashga asoslangan bo‘lib, bu usul algebraik usuldan ancha sodda hisoblanadi. Kirishlar soni to‘rtdan ortiq bo‘lmagan sxemalarni Karno kartalari yordamida minimallash eng yaxshi usul hisoblanadi. Bu usul mantiqiy ifodalarni haqiqiylik jadvallari yordamida aniqlashga ham imkon beradi.
Karno kartalarini qo‘llash materialni ixcham va qulay ifolanishini ta’minlaydi. Karno kartalari haqiqiylik jadvaliga yaqin bo‘lib, ikkita o‘q bo‘ylab joylashgan o‘zgaruvchilardan tashkil topadi. O‘zgaruvchilar shunday joylashishi kerakki, har bir kvadrantdan keyingisiga o‘tganda, faqat bir kirishning holati o‘zgarsin. Ikkita (1 a-rasm), uchta (1 b-rasm), va to‘rtta (1 v-rasm), mantiqiy o‘zgaruvchili funksiyalar uchun Karno kartalari keltirilgan. Ikkita o‘zgaruvchi uchun 2²=4 kombinatsiya hosil bo‘ladi, shuning uchun karta 4 katakdan tashkil topadi. Uchta o‘zgaruvchi uchun 2³ =8 kombinatsiya hosil bo‘ladi, shuning uchun karta 8 katakdan takshil topadi va h.z.
Kartalardan ko‘rinib turibdiki, har bir katakga mantiqiy o‘zgaruvchilar
majmui yozilgan bo‘lib, katak raqami ustun va qatorlar kesishmasidan aniqlanadi. Shu sababli haqiqiylik jadvali yordamida berilgan funksiyalarni Karno kartalari orqali ifodalash qulay. Ba’zi mantiqiy funksiyalarni Karno kartalari yordamida grafik ifodalash 1-rasmda keltirilgan. O‘zgaruvchilar soni K=8÷9 gacha bo‘lgan funksiyalarni ifodalashga imkon beradigan maxsus usullar mavjud. Lekin Karno kartalari har doim ham yaxshi minimallashga olib kelmaydi.

1-rasm. Ikkita (a), uchta (b) va to’rtta (v) o’zgaruvchili funksiyalar uchun mintermlari joylashgan Karno kartalari

2-rasm. Karno kartalari yordamida mantiqiy funksiyalarni grafik ifodalash usullari.
O‘zgaruvchilar soni beshtadan ortiq bo‘lmagan MAFni minimallashda Veych kartalarini qo‘llash usulidan foydalanish mumkin. O‘zgaruvchilar soni
to‘rtta bo‘lgan MAF uchun Veych kartalari (diagrammalari) hamda karta kvadratlarining raqamlanishi 2.3, a - rasmda keltirilgan. MAFning o‘zi (2.1) funksiya yordamida ifodalaniladi:

(2.1)

2.3-rasm. (2.1) qoidaga asosan to‘rrta o‘zgaruvchili MAF uchun Veych kartalari (a) va kataklarning to‘ldirilishi (b): agar o‘zgaruvchilarning i-kiritilishda funksiyaning qiymati birga teng bo‘lsa, u holda kartaning mos katagiga 1 yoziladi (b).

Darhaqiqiat, MAFni Veych kartalari yordamida minimallashda uning faqat birga teng bo‘lgan qiymatlarini emas, balki nol qiymatlarini ham qo‘llash mumkin. Ikkala holatda ham o‘zaro teng ifodalar hosil bo‘ladi, lekin qo‘shiluvchilar soni va bajaradigan mantiqiy amallari soni bilan farqlanishi mumkin.
Veych kartalari yordamida MAFni minimallash usulida mantiqiy o‘zgaruvchilarning soni beshtadan oshmasligi kerak. Agar bu shart bajarilmasa,
ya’ni o‘zgaruvchilar soni beshtadan oshsa, usul o‘z kuchini yo‘qotadi, agar ishlab chiqaruvchi malakaga yoga bo‘lmasa MAFni minimallashda EHMlarni qo‘llay olmaydi.