To‘plamlar algebrasi

10-teorema. Ixtiyoriy A va В to'plamlar uchun tenglik o'rinlidir.
Isbot. Ixtiyoriy A va В to'plamlar U universal to'plamning qism to'plamlari bo'lsin. bo'lgani uchun 1- teoremaga (1-bandiga qarang) asosan munosabat o'rinlidir. Oxirgi tenglikning o'ng tomonidagi ifoda uchun kesishmaga nisbatan distributivlik qonunini qo'llab, uni ko'rinishga keltiramiz. Endi va tengliklarni e’tiborga olsak, kelib chiqadi. ■
11- teorema. Ixtiyoriy A va В to'plamlar uchun tenglik о‘rinlidir.
Isbot. Avvalo kesishmaga nisbatan distributivlik qonunini, keyin esa idempotentlik qonunini qo'llasak, isbotlanishi kerak bo'lgan tenglikning chap tomoni uchun munosabatlar o'rinli bo'lishini aniqlaymiz. 10- teoremaga asosan .
10- va 11- teoremalarda isbotlangan va tengliklar yutilish qonunlari deb yuritiladi.
Yuqorida isbotlangan teoremalarda keltirilgan tengliklar tahlil qilinganda ularning ba’zi xususiyatlarini payqash mumkin. Masalan, 6- va 7-, 8- va 9- hamda 10- va 11- teoremalardagi tengliklaming biri ikkinchisidan va belgilarni o‘zaro almashtirish yordamida hosil qilinishi mumkin. Xuddi shunday, nolning xossalari bilan biming xossalari to‘g ‘risida ham quyidagilami aytish mumkin: bu xossalarni ifodalovchi tengliklaming biri ikkinchisidan va belgilami hamda va U belgilami o'zaro almashtirish natijasida kelib chiqadi.
To'plam lar algebrasida agar biror tenglikdan shu tenglikdagi (bor bo’sa) belgisini belgisiga, ni g a , ni U ga, U ni g a birdaniga almashtirish natijasida boshqa tenglikni hosil qdish mumkin bo’sa, u holda hosil qilingan tenglik dastlabki tenglikka ikki taraflama (qo‘shma) tenglik deb yuritiladi.
Ravshanki, biror tenglikka ikki taraflama hisoblangan tenglik uchun ikki taraflama tenglik dastlabki tenglik bilan bir xil bo’adi. Shuning uchun bu tengliklar o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma) tengliklar deb nomlanadi.
Masalan, nolning xossasini ifodalovchi va birning xossasini ifodalovchi tengliklar o'zaro ikki taraflama (qo'shma) tengliklardir.