To‘plamlar algebrasi

Ekvivalent tasdiqlar. To'plamlar algebrasining asosiy qonunlariga qo'shimcha quyidagi teoremani keltiramiz.
12- teorema . Ixtiyoriy A va В to'plamlar uchun quyidagi tasdiqlar ekvivalentdir:
1 ) ; 2) ; 3 ) .
Isbot. 1. Teoremaning 1) tasdig'i o'rinli bo'lsin. U holda munosabat to'g'rligini isbotlaymiz. Avvalo , to'plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko'ra, bo'ladi. Endi A to'plamning ixtiyoriy elementini x bilan belgilaymiz. U holda .
Demak, to'plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko'ra, , ya’ni . Shunday qilib, va bo'lganidan o'rinlidir.
2. bo'lishini isbotlash uchun, avvalo, ifodadagi A to'plamning o'rniga unga teng bo'lgan to'plamni qo'yib, ifodani hosil qilamiz. So'ngra, bu ifodaga hirlashmaga nisbatan distributivlik qonunini qo‘llab, ifodani hosil qilamiz. Idempotentlik qonuniga asosan o'rinlidir. Shuning uchun ifodani ko'rinishda yozish mumkin. Oxirgi ifoda yutilish qonuniga asosan В ga teng. Demak, AUВ= В.
3. munosabatni tekshiramiz. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni tenglik o'rinli bo'lsa-da, A to'plam В to'plamning qism to'plami bo'lmasin. U holda A to'plam tarkibida В to'plamga tegishli bo'lmagan hech bo'lmasa bitta x element topiladi, ya’ni va . To'plamlarning birlashmasi ta’rifiga asosan bo'lganidan munosabat o'rinlidir. tenglikdan kelib chiqadi. Hosil bo'lgan ziddiyat, ya’ni, ham , ham bo'lishi qilgan farazimizning noto'g'riligini isbotlaydi. Demak tenglikdan munosabat kelib chiqadi. ■
Muammoli masala va topshiriqlar
1. Yuqorida isbotlangan teoremalardan mumkin qadar kam foydalangan holda quyidagi tengliklarni isbot qiling:
a) ;
b) .
2. U universal to'plamning A va В qism to'plamlari bo'lsin.
Quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
a) ixtiyoriy A to'plam uchun ;
b) ixtiyoriy A to'plam uchun ;
d) agar va bo'lsa, u holda va bo'ladi.
3. Quyidagi tengliklarni isbot qiling:
a) ;
b) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ( A \ B ) \ C = (A\C )\( B\C );
h ) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) ;
m) ;
n) ;
4. Ixtiyoriy A va В to'plam lar uchun quyidagi tasdiqlaming o'rinli bo'lishini ko'rsating:
a) ;
b ) (a) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq);
d) .
5. Ushbu paragrafda isbotlangan teoremalardagi tengliklarni tahlil qiling va o'zaro ikki taraflama (qo'shma) bo'ladidan tengliklarlarni aniqlang.
6. bo'lsa, n, к , va |D| sonlarni solishtiring.