Toshkent axborot texnologiyalari universiteti qarshi filiali

Teorema. Agar funksiya differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning ixtiyoriy yo‘nalish bo‘yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng:

bu yerda vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari.
Isboti. funksiya teoremaning shartiga ko‘ra differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning nuqtadagi ortirmasini
(53)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda kattalik ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni .
Agar funksiya ortirmasi vektor yo‘nalishidagi nur bo‘ylab qaralsa, u holda

bo‘lishi ravshan. U holda (1) tenglik bunday ko‘rinishni oladi:
.
Tenglikning ikkala qismini ga bo‘lamiz va da limitga o‘tamiz. Natijada
, (53)
Chunki
,
xususiy hosilalar va yo‘naltiruvchi kosinuslar ga bog‘liq bo‘lmaydi.
Shunday qilib, teorema isbotlandi. (2) formulada, agar yo‘nalish koordinatalar o‘qining yo‘nalishlaridan biri bilan bir xil bo‘lsa, u holda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila tegishli xususiy hosilaga teng, masalan, agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi, shuning uchun
va binobarin,

(2) formuladan ko‘rinadiki, yo‘nalishga qarama-qarshi yo‘nalish bo‘yicha hosila yo‘nalish bo‘yicha teskari ishora bilan olingan hosilaga teng.
Haqiqatan bunda, burchaklar ga o‘zgarishi kerak, natijada quyidagini hosil qilamiz:

Bu yo‘nalish qarama-qarshisiga o‘zgarganda funksiyaning o‘zgarish tezligining absolyut miqdori o‘zgarmaydi, uning faqat yo‘nalishi o‘zgaradi xolos.
Agar, masalan, yo‘nalishda funksiya o‘ssa, u holda qarama-qarshi yo‘nalishda u kamayadi va aksincha.
Agar maydon tekis bo‘lsa, u holda nurning yo‘nalishi uning absissalar o‘qiga og‘ish burchagi bilan to‘la aniqlanadi. yo‘nalish bo‘yicha hosila uchun formulani tekis maydon holida (2) formuladan olish mumkin, bunda

deb olinadi. U holda
.