Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash

Kurs ishining maqsadi: O‘quv jarayonida interfaol xorijiy usullarni qo‘llash kurs ishining to‘liq o‘zlashtirilishini kafolatlaydi. Bu jarayonda nazariy mashg‘ulotlarni olib boorish pedagogik texnologiyalarga asoslangan.
Kurs ishining ob’ekti: maktab matematika kursini aniq integral bo’limini o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: maktab matematikasi kursida anqi integralni boshqa fanlarga tadbiqini maqsadi, mazmuni, metodlari, vositalari va shakllaridan iborat.
ASOSIY QISM
1-§. Trigonometrik va teskari triganometrik funksiyalar
Trigonometric funksiyalar
Ushbu

funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.
funksiyalar da aniqlangan, davrli funksiyalar da

bo`ladi. Ushbu

funksiya

to`plamda aniqlangan davrli funksiya, funksiyalar lar orqali quyidagicha ifodala-nadi:
.
Teskari trigonometrik funksiyalar.
Ma`lumki, funksiya da aniqlangan va uning qiymatlari to`plami

bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda va to`plamlarning elementlari o`zaro bir qiymatli moslikda bo`ladi.
funksiyaga nisbatan teskari funksiya

kabi belgilanadi.
SHunga o`xshash funksiyalarga nis-batan teskari funksiyalar mos ravishda

kabi belgilanadi.
Ushbu , , , funksiya-lar teskari trigonometrik funksiyalar deyiladi.
2-§. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan ifodalarni integrallash
Hamma trigonometrik funksiyalarni sinx va cosx orqali ratsional ko’rinishda ifodalash mumkin.
Bu ifodani R ( sinx,cosx) orqali belgilaymiz.
Endi R ( sinx,cosx) ko’rinishdagi ifodani integrallash kerak bo’lsin.

Bunday integralni belgilash yordamida z o’zgaruvchili ratsional funksiyaning integraliga almashtirish mumkin. Integralni bunday almashtirish ratsionallashtirish deyiladi. Haqiqatdan ham, desak,

Shuning uchun

bunda R₁(z)-z o’zgaruvchili ratsional funksiya.
Bunday almashtirish R(sinx,cosx) ko’rinishdagi har qanday funksiyani integrallashga imkon beradi, shuning uchun bunday almashtirish universal trigonometrik almashtirish deyiladi. Lekin bunday almashtirish ko’pincha ancha murakkab ratsional funksiyaga olib keladi. Shuning uchun, sodda o’rniga qo’yishlardan ham foydalansa bo’ladi. Masalan:
1) Agar R( sinx,cosx) funksiya sinx ga nisbatan toq bo’lsa, ya`ni
R(-sinx,cosx)-R( sinx,cosx) bo’lsa, u holda z=cosx; dz=-sinxdx o’rniga qo’yish bu funksiyani ratsionallashtiradi.
2) Agar R( sinx,cosx) funksiya cosx ga nisbatan toq bo’lsa, ya`ni
R(sinx,-cosx)-R( sinx,cosx) bo’lsa, u holda z=sinx; dz=cosxdx o’rniga qo’yish bu funksiyani ratsionallashtiradi.
3) Agar R( sinx,cosx) funksiya sinx va cosx ga nisbatan juft bo’lsa, ya`ni R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx) bo’lsa, u Holda o’rniga qo’yish bu funksiyani ratsionallashtiradi. Bu holda
bo’ladi.
1-Misol integralni hisoblang.
Yechish: o’rniga qo’yishdan foydalanamiz.

2-Misol. integralni hisoblang.
Yechish :
Integral belgisi ostidagi funksiya juft funksiya, shuning uchun tgx=z almashtirishni bajaramiz.
U holda z=tgx; x=arctgz;
Natijada quyidagini hosil qilamiz:



3-Misol: integralni hisoblang.
Yechish: Integral ostidagi funksiya sinx ga nisbatan toq funksiya . Shuning uchun z=cosx; dz=-sinxdx sinxdx=-dz almashtirishni bajaramiz:

4. 
   Agar R(sinx, cosx) funksiya sinx va cosx darajalarining ko’paytmasi bo’lsa, ya`ni ko’rinishdagi integralni hisoblash, m va n ga bog’liq holda turli o’rniga qo’yishlar bajariladi:
   

a) Agar n>0 va toq bo’lsa, u holda cosx=z; sinxdx=-dz o’rniga qo’yish integralni ratsionallashtiradi.
b) Agar m>0 va toq bo’lsa, u holda sinx=z; cosxdx=dz o’rniga qo’yish bajariladi.
4-Misol: integralni hisoblang.
Yechish: cosx=z; sinxdx=-dz almashtirishni bajaramiz:

v) Agar ikkala n va m ko’rsatkichlar juft va nomanfiy bo’lsa, u holda trigonometriyadan ma`lum bo’lgan

darajani pasaytirish formulalaridan foydalanamiz.
5-Misol. integralni hisoblang.
Yechish: Darajani pasaytirish formulasidan foydalanamiz.

g) Agar m+n=-2K0 (juft, nomusbat) bo’lsa, u holda tgx=z yoki z=ctgx o’rniga qo’yish integralni darajali funksiyalarning integrallari yig’indisiga olib keladi.

6-Misol. integralni hisoblang.
Yechish: bu yerda n=-3; m=-1; m+n=-4<0

7-Misol . integralni hisoblang.

Yechish: bu yerda n=2, m=-6; n+m=-4<0 quyidagini almashtirishni bajaramiz.
z=tgx; x=arctgz; dx=

Natijada quyidagini hosil qilamiz.

8-Misol. integralni hisoblang.
Yechish: bu yerda desak, m=4; n=-4; m+n=0;
Quyidagi almashtirishni bajaramiz.
ctgx=z; x=arcctgz;
Natijada
9-Misol. integralni hisoblang.
Yechish : bu yerda n=0 ; m=-6; m+n=-6<0 quyidagi almashtirishni bajaramiz.

U holda

d) Agar darajalardan biri nolga teng, ikkinchisi manfiy toq son bo’lsa, u holda almashtirish bajariladi.
10-Misol. integralni hisoblang.
Yechish: Quyidagicha almashtirishni bajaramiz.

Natijada:

5) Quyidagi ko’rinishdagi integrallarni qarab chiqamiz.

Bularni integrallash uchun trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasini yig’indiga almashtiruvchi formulalar yordamida olinadi:

11-Misol . integralni hisoblang.

Yechish: Integral ostidagi ko’paytmani yig’indiga almashtiramiz.