Uzluksizlik ni umumlastirish

Uzluksiz funksiyalarning elementar xossalari.
Uzluksiz funksiyalarning quyidagi sodda xossalarini keltiraylik.
Teorema 2. Agar funksiya nuqtada uzluksiz va bo`lsa, u holda nuqtaning biror kichik atrofidagi lar uchun ham bo`ladi.
► Funksiya uzluksizligining (1) ta’rifiga ko`ra, (biz uni keyinroq tanlaymiz) soni uchun unga mos shunday topiladiki, barcha lar uchun ya’ni tengsizliklar o`rinli bo`ladi. bo`lishi uchun bo`lishi yetarli. Buning uchun esa bo`lishi kerak. bo`lgani uchun soniga ko`ra mos ni tanlab barcha lar uchun

bo`lishini topamiz. Shunday qilib, hol uchun teorema isbotlandi. holi shunga o`xshash isbotlanadi. ►
Natija. Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo`lib, bo`lsa, u holda nuqtaning yetarli kichik atrofidagi barcha lar uchun (mos ravishda ) bo`ladi, ya’ni nuqtada uzluksiz funksiya shu nuqtaning yetarli kichik atrofida o`z ishorasini saqlaydi.
Teorema 3. Faraz qilaylik, va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo`lsin, u holda

1. 
   ularning yig`indisi
   
2. 
   ularning ko`paytmasi
   
3. 
   Agar qo`shimcha tarzda bo`lsa, ularning nisbati ham nuqtada uzluksiz bo`ladi.
   

Teorema ketma-ketliklar tilida osongina isbotlanadi.
Teoremaning 3) qismida uzluksiz funksiyaning ishorasini saqlash xossasi kerak bo`ladi.
Teorema 4. Faraz qilaylik funksiya nuqtada uzluksiz funksiya esa nuqtada uzluksiz bo`lsin. U holda kompozitsiya nuqtada uzluksiz bo`ladi.
◄ Isbotni « » tilida bajaramiz.
Ixtiyoriy soni berilgan bo`lsin. funksiya nuqtada uzluksiz bo`lganligi uchun shunday sonini topamizki,
(6)
funksiya nuqtada uzluksiz bo`lgani uchun soniga ko`ra shunday topamizki,
(7)
Demak, agar bo`lsa, u holda (7) ga ko`ra bo`ladi. Endi agar larning ushbu shartni qanoatlantiradiganlari bilan chegaralasak, u holda (6) ga ko`ra ana shu lar uchun

bo`ladi. Demak, funksiya nuqtada uzluksiz. ►
Teorema 4 ning shartlarida, agar qo`shimcha tarzda ning limit nuqtasi esa ning limit nuqtasi bo`lsa, u holda

tenglik o`rinli bo`ladi. Bu tenglikdan murakkab funksiyalarning limitlarini hisoblashda foydalanish mumkin.
Misollar.
1. funksiya da uzluksiz. Uzluksiz funksiyalarning ko`paytmasi sifatida funksiya da uzluksiz. O`zgarmas funksiya uzluksiz bo`lgani uchun funksiya ham uzluksiz. Uzluksiz funksiyaning yig`indisi sifatida ixtiyoriy ko`pxadi da uzluksizdir.
2. Ko`pxadlarning nisbati maxraj nolga aylanmagan nuqtalarda uzluksiz.
3. va funksiyalar da uzluksiz bo`lgani uchun ularning kompozitsiyasi ham uzluksizdir.