Uzluksizlik ni umumlastirish

Elementar funksiyalarning uzluksizligi.
Asosiy elementar funksiyalar quyidagilardan iborat:

• 
  o‘sgarmas funksiya ;
  
• 
  darajali funksiya ;
  
• 
  ko‘rsatkichli funksiya ;
  
• 
  logarifmik funksiya ;
  
• 
  trigonometrik funksiyalar: ;
  
• 
  teskari trigonometrik funksiyalar: .
  

Elementar funksiyalar deb asosiy elementar funksiyalar hamda ulardan chekli sondagi qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va kompozitsiya olish amallari orqali hosil qilingan funksiyalarga aytiladi.
Ixtiyoriy asosiy elementar funksiya o`z aniqlanish sohasida uzluksiz bo`ladi. Bu matematik analiz kursida isbotlangan tasdiqdir.
Bu tasdiq va teorema 3 hamda teorema 4 dan har qanday elementar funksiyaning o`z aniqlanish sohasida uzluksiz bo`lishi kelib chiqadi.


Bir tomonli uzluksizlik.
funksiya va nuqtani qaraylik.
Agar
1)
2) (8)
shartlar o`rinli bo`lsa, u holda funksiyaga nuqtada o`ngdan uzluksiz deyiladi.
Agar
1)
2) (9)
shartlar o`rinli bo`lsa, u holda funksiyaga nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.
Tushunarliki, nuqtadagi bir tomonli (o`ngdan yoki chapdan) uzluksizlik shu nuqta funksiya aniqlanish sohasining limit nuqtasi bo`lganda mazmunli ma’no kasb etadi.
Misollar.
1.
funksiya nuqtada o`ngdan uzluksiz lekin chapdan uzluksiz emas. Haqiqatan ham, bo`lganda Lekin bo`lganda qiymatni soni 0 ga qanchalik yaqin bo`lmasin odindan berilgan sondan kichik qilib bo`lmaydi.
2.
funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, o`ngdan uzluksiz emas.
3.
funksiya 0 nuqtada chapdan ham, o`ngdan ham uzluksiz emas.
Uchala misoldagi funksiya ham, ravshanki, 0 farqli ixtiyoriy nuqtada uzluksizdir.
Teorema 5. funksiya nuqtada uzluksiz bo`lishi uchun uning shu nuqtada ham o`ngdan, ham chapdan uzluksiz bo`lishi yetarli va zarurdir.
◄ Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo`lsa, uning shu nuqtada ham o`ngdan, ham chapdan uzluksiz bo`lishi ta’riflardan ravshan.
Teskarisini ko`rsataylik.
funksiya nuqtada uzluksiz o`ngdan va chapdan uzluksiz bo`lsin. sonini olaylik. Ta’rifga ko`ra:


Endi agar desak, u holda ravshanki,

ya’ni funksiya nuqtada uzluksiz. ►
Funksiyaning nuqtadagi o`ngdan va chapdan uzluksizligi ta’riflarini ketma-ketliklar tilida (Geyne bo`yicha) ham aytish mumkin.
Biz nuqtada o`ngdan uzluksizlikning ta’rifini keltiramiz. Chapdan uzluksizligining keltirishni va isbotlashni o`quvchiga havola qilamiz.
Agar
1)
2) va shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun shart o`rinli bo`lsa, u holda funksiya nuqtada o`ngdan uzluksiz deyiladi.
Teorema 6. Funksiyaning nuqtadagi o`ngdan (chapdan) uzluksizligining « » va ketma-ketliklar tillaridagi ta’riflari o`zaro ekvivalentdir.
Isboti ravshan.