Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi
Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.

Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.
Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda

(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:

R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi

|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.
Vektorlar sistemasi.


Vektorlar chiziqli kombinatsiyasi. Chiziqli tenglamalar sistemasini vektor tenglama shaklida yozish
n o`lchovli m ta vektorlardan iborat quyidagi


a₁(a₁₁; a₂₁; …; a_n1)

a₂(a₁₂; a₂₂; …; a_n2) (*) ………………….

a_m(a_1m; a_2m; …; a_nm)
vektorlar sistemasi va λ₁, λ₂, …, λ_m – haqiqiy sonlar berilgan bo`lsin.
n o`lchovli λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λ_ma_m yoki vektorga a₁, a₂, …, a_m vektorlarning mos ravishda λ₁, λ₂, …, λ_m koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
Masala. a₁(1; -1; 2; -3), a₂(3; 0; 1; -2), a₃(-1; 2; 1; 3) vektorlar sistemasi berilgan. 2a₁ - a₂ + 3a₃ chiziqli kombinatsiya koordinatalarini aniqlang.
Vektorlar ustida ko`rsatilgan chiziqli amallarni bajaramiz:
Demak, 2a<sub>1</sub> - a<sub>2</sub> + 3a<sub>3</sub> = (-4; 4; 6; 5).
Vektorlar ustida chiziqli amallardan foydalanib, vektorlar tengligi ta`rifiga asoslanib, m noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi normal
ko`rinishini quyidagicha

yoki

yoki (1)
vektor shaklda yozish mumkin. (1) tenglik chiziqli tenglamalar sistemasini yozishning vektor shakli deyiladi.