Vii bob oddiy differensial tenglamalarni taqribiy


§ 7.6. Chegaraviy masalalarni



Yüklə 338 Kb.
səhifə4/5
tarix19.05.2023
ölçüsü338 Kb.
#118029
1   2   3   4   5
Vii bob oddiy differensial tenglamalarni taqribiy

§ 7.6. Chegaraviy masalalarni
chekli ayirmali usullar yordamida yechish

Chegaraviy masalalarni yechish Koshi masalalariga nisbatan ancha murakkab bo’lganligi sababli, bu ko’rinishdagi masalalar ba’zi xollarda Koshi masalasiga keltirib yechiladi, ko’pchilik hollarda esa chekli ayirmali usullardan foydalaniladi, masalan progonka usuli, potokli progonka usuli, differensial progonka usuli va boshqalar.


Aytaylik, ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama
A(x)y+B(x)y+C(x)y(x)=F(x) (7.6.1)
chegaraviy shartlar bilan berilgan bo’lsin
(7.6.2)
(7.6.3)
bu erda A(x) 0, a x b, [ ]+[ ]>0, i=0,1.
Bu chegaraviy masalani yechish uchun chekli ayirmali usulni qo’llaymiz. Buning uchun [a,b] oraliqni N ta qismga bo’lamiz va h qadamli to’r hosil qilamiz:
h=(b-a)/N; xi=x0+ih, x0=a, xN=b, i=0,N;
bu erda N-oraliqlar soni.
Tenglama koeffitsiyentlari, noma’lum funktsiya va uning hosilalarining xi nuqtadagi qiymatlari quyidagi munosabatlar bilan beriladi:
A(xi)=Ai, B(xi)=Bi, C(xi)=Ci, F(xi)=Fi, y(xi)=yi,


y(xi) (yi+1-yi)/h, y(xi) (yi+1-2yi+ yi-1)/h2.

Ba’zan y’(x) ni y(xi) (yi+1-yi-1)/(2h) ko’rinishida ham yozish mumkin.


U holda (7.6.1) tenglamani x=xi nuqtadagi ifodasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

chegaraviy shartlarni quyidagicha yozib olamiz:
(7.6.5)
(7.6.6)
(7.6.4)–(7.6.6) ko’rinishdagi chekli-ayirmali masalani yechishning juda ko’p usullari mavjud, masalan progonka, differensial progonka, potokli progonka, ortogonal progonka, variasion usullar va boshqalar [Samarskiy A. A. va boshqalar].
Biz berilgan masalani progonka usuli bilan yechamiz. Uning uchun (7.6.4)-(7.6.6) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
(7.6.7)
(7.6.8)
(7.6.9)
Bu erda




Hosil qilingan tenglamalar tizimi (7.6.4)-(7.6.6) ni yechimi o’ng progonka usuli orqali quyidagicha topiladi:

  1. To’g’ri progonka:



bu formulalar orqali ketma-ket yordamchi parametrlar (X1, Z1, X2, Z2, . . . , XN, ZN ) hisoblanadi.

  1. Teskari progonka:


yi-1=Xiyi+Zi
bu formula orqali esa ketma-ket izlanayotgan yechimlar qiymatlari yN, yN-1, yN-2, . . . , y1 hisoblanadi.
Bu o’ng progonka usuli
(7.6.10)
shartlar bajarilganda sonlarni yaxlitlash hatoligiga turg’un bo’ladi.
Agarda
(7.6.11)
shartlar bajarilsa, chap progonka usuli qo’llaniladi:
1)
i=N-1, N-2, . . ., 1
2)
i=0,1, . . ., N-1

Misol: Quyidagi ikkinchi tartibli differensial tenglamaga



y(0)=1, y(1)=0
qo’yilgan chegaraviy masala yechimi to’r usuli yordamida xn=0,1n, n=0,1 . . .,10 nuqtalarda hisoblansin.
Yechish: Berilgan masala uchun chekli ayirmalar sxemasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:


(1-0,01n)yn-1-2,02yn+(1+0,01n)yn+1=0,0002n2, n=1, 2, . . ., 9, (7.6.12)


y0=1, y10=0 (7.6.13)

Bu algebraik tenglamalar tizimiga o’ng progonka usulini qo’llaymiz. Buning uchun oldin Xn ,Zn lar hisoblanadi:




X1=0, Xn+1=
Z1=1, Zn+1=


n=1, 2, . . ., 9.
So’ng teskari yo’nalishda yechimlar


y10=0, yn-1=Xnyn+Zn, n=10, 9, . . ., 1
topiladi. Hisoblangan qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan:




Yüklə 338 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin