Azərbaycan Respublikası Elm və Təhsil Nazirliyi azerbaycan texiki universiteti

Teorem 1. Əgər (2) sistemi (1) sistemindən sonlu sayda I və II növ çevirmələrin ardıcıl yerinə yetirilməsi ilə alınmışsa, onda bu sistemlər ekvivalentdir.
İsbatı. Eynigüclülük münasibətinin tranzitivliyindən alınır ki, (2) sisteminin (1)-dən ancaq bir I və ya bir II növ elementar çevirmə ilə alındıqda (1) ~(2) olduğunu göstərsək, teorem isbat olunmuş olar.
Tutaq ki, (2) sistemi (1)-dən ancaq iki tənliyin yerdəyişməsi ilə alınmışdır. Onda bu sistemlərdəki tənliklər özləri dəyişməmişdir. Ona görə də onların həllər çoxluğu eynidir, yəni (1)~(2).
İndi fərz edək ki, (2) sistemi (1)-dən II növ elementar çevirmə ilə alınmışdır. Onda (2) sisteminin i-ci tənlikdən başqa qalan tənlikləri (1)-də olduğu kimi, i-ci tənliyi isə (2) şəklindədir. Bu halda həlli (2) sisteminin bütün tənliklərini –cidən başqa) doğru bərabərliyə çevirir. Eyni zamanda
İkinci bərabərliyin hər iki tərəfini c ədədinə vursaq bərabərlik pozulmaz. Alınan bərabərliyi hədbəhəd birinciyə əlavə etsək (4) bərabərliyini alarıq.
Tutaq ki, (3) sisteminin hər hansı həllidir. Onda bu kortej (1) sisteminin i-cidən başqa bütün tənliklərini doğru bərabərliyə çevirəcəkdir. O cümlədən, (3) sisteminin aşağıdakı iki tənliyi ödənilir:
Birinci bərabərliyin hər iki tərəfini (-c)-yə vuraq və ikinci tənliyə əlavə edək. Onda (1)-in i-ci tənliyinin də ödənildiyini görərik. Deməli, (1)~(2). Teoremin isbatı başa çatdı.
Qeyd edək ki, ixtiyari iki uyuşmayan sistem eynigüclüdür.
Tərif 5. Əgər (1) sisteminin yeganə həlli varsa, ona müəyyən sistem deyilir. Əks halda uyuşan sistem qeyri-müəyyən sistem adlanır.
Qauss üsulu — Xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün klassik üsul. Bəzən bu üsula əmsalları yoxetmə üsulu da adlanır.
Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi verilmişdir
Bu sistemin həlli üçün məchulun yox edilməsi və ya Qausus üsulunun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Tutaq ki, . Onda sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini vuraraq alınan
tənliyini sistemin ikinci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Aldığımız tənlikdə məchulu iştirak etmir.
Sonra sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini vuraraq alınan tənliyini sistemin üçüncü tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (1) sistemini
şəklində sistemə gətirmək olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cü və s. tənliklərdən istifadə etməklə yuxarıda gördüyümüz üsulla məchulunuda yox etmək olar. Bu mühakiməni ardıcıl olaraq tətbiq etməklə (1) sistemini ona ekvivalent olan
tənliklər sisteminə gətirmək olar. (3) sisteminə pilləvari (və ya pilləkən şəklində) sistem deyilir. sonuncu tənlikdən məchulu tapılır, sonra yuxarı qalxaraq və bu qayda ilə davam edərək birinci tənlikdən məchulunu tapırıq. (1) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən tənliklər üzərində aparılan əməlləri bəzən onların əmsallarından düzəlmiş
matrisi üzərində aparmaq daha münasib olur. Belə matris genişlənmiş matris adlanır.