O 'z b e k ist o n respublikasi oliy va 0 ‘rta m a xsus t a ’lim vazirlig1

9.9-rasm .
Bu ikki holat uchun Betti teorem a­
si quyidagicha yoziladi:
Agar P=F=1 ekanligini e’tiborga olsak,
kelib chiqadi.

---

Bu tenglik ko'chishlarning o'zaro bog'lanishi haqidagi teorem a yoki 
Maksvell teoremasi deb ataladi.
M azkur tenglik 
P = F ^ 1
bo'lganda ham o 'z kuchini saqlaydi va quyi­
dagicha ifodalanadi:
A, - / = V
(9.6)
9.3. K o ‘chishlarni aniqlash uch un M or form ulasi
va V eresh ch agin u suli
K o'chishlarni aniqlaydigan formulani keltirib chiqarishda bevosita ish­
lar uchun chiqarilgan formulalardan foydalanamiz.
B iror elastik sistem aning, m asalan, balkan ing ikki holatini k o 'rib
chiqam iz. B irinchi, y a ’ni berilgan holatda balkaga istalgancha kuchlar 
qo'yilishi mumkin (9.10-rasm, a). Ikkinchi holatda balkaga birlik kuch 
F =
1 
qo'yiladi (9.10-rasm, b).
Berilgan kuchlar ta’sirida hosil bo'lgan 
A fp
ko'chishning vujudga ke­
lishida ikkinchi holatdagi 
F =
] kuchi quyidagi ishni bajaradi:
Afp=FAr = \А ф =Afp
a)
P, 
Berilgan holat 
P, 
P
b)
Qr
Birlik holat
И г
l F=l
Qf
9 . 10-rasm .
Afp
ni ichki kuchlar orqali ifoda etsak,
(9.7)
ko'rinishdagi ko'chishlarni aniqlash formulasiga, ya’ni Mor formulasiga ega 
bo'lam iz.

---

Bu yerda 
M p , N p
va 
Qp -
berilgan kuchlardan hosil bo ‘lgan, 
M f ,
N / V
a 
Qf -
birlik kuchdan hosil boMgan ichki kuchlardir.
Birlik kuch odatda ko‘chishi aniqlanayotgan nuqtaga qo‘yiladi. Agar 
chiziqli ko'chish (masalan, biror nuqtaning solqiligi) aniqlanadigan boMsa, 
birlik kuch sifatida oMchamsiz yigMq kuch qabul qilinadi, agar burchakli 
ko‘chish (masalan, biror kesimning ogMsh burchagi) aniqlanadigan boMsa, 
birlik kuch sifatida oMchamsiz yigMq moment qabul qilinadi. Har ikkala 
holda ham birlik kuch ko'chishi izlanayotgan nuqtaga qo'yiladi.
Balka va ramalaming k o ‘chishlarini aniqlashda bo‘ylama va ko'ndalang 
kuchlar ta ’sirini e ’tiborga olmasa ham boMadi:
Oddiy arkalam ing k o ‘chishlarini aniqlashda eguvchi m om ent bilan 
bo‘ylama kuchning ta ’siri e ’tiborga olinsa kifoya.
Fermalaming ko‘chishlarini aniqlashda faqat bo‘ylama kuchlaming ta ’siri 
e’tiborga olinadi.
V eresh chagin usuli. M a’lumki, balka va ram alam ing ko ‘chishlarini 
aniqlashda Mor formulasining birinchi hadidan foydalaniladi (9.8):
(9.8)
(9.9)
(9.10)
(a).
M p epy u rasi 
ogM rlik m arkazi

---

Integral chegarasida kesim o ‘zgarmas bo‘lsa, egilishdagi bikrlikni integ- 
raldan tashqariga chiqarish mumkin
A 
v = - y $ M f M pd x
(b).
Bu yerda 
M p
va 
M P
- berilgan va birlik kuchlardan hosil boMgan 
eguvchi m om entlar (9 .1 1-rasm). K o‘pincha ikki epyuraning biri to ‘g ‘ri
1 __
chiziqli boMadi. Bunday hollarda j
~ M f M pdx
integrali osongina yechiladi;
0
aniq ro g 'i m azkur integralni integralsiz ifoda bilan alm ashtirish imkoni 
tu g ‘iladi.
Shakldan (9 .1 1-rasm):
M f - x t g a
va 
da>~ M pdx
ekanligini hisobga olsak,
f 
f 
t
JiV/j 
M pdx
= 
tg a
j
x M pd x - t g a jx d to
о
0
0
kelib chiqadi.
(
Bu yerda 
f e d to
integral! 
M p
epyurasining yuzasi 
top
dan 0 - 0 ’
0
o ‘qiga nisbatan olingan statik momentdir, ya’ni
f.
\xdco = cop -xc
.
0
0 ‘m iga qo‘yamiz
e
___
J
M~f M pdx = x ctg a -co p .
0
biroq 
x ct g a = y c
ekanligini nazarda tutsak,
i
f i f ^ M pdx = a py e
(b)
0
kelib chiqadi, natijada integral funksiya integralsiz ifoda bilan almashadi. 
(v) ifodasini (b) ga qo'ysak, quyidagi formula kelib chiqadi:
A//-= ^ j Z
v
(g)
Bu yerda 
cop -
eguvchi momentlar epyurasining yuzasi;

---

у с -
birinchi epyuraning ogMrlik markaziga mos kelgan ikkinchi epyu- 
radagi ordinata.
Ko'chishlarni aniqlashning bu usulini 1925-yilda Moskva temir yo'llar 
transporti muhandislari institutining tolibi A.N. Vereshchagin taklif etgan.
(g) dan ko'rinadiki, har ikkala epyura o'qning bir tomonida joylashsa, 
ko'chishning ishorasi musbat, o'qning turli tomonlarida joylashsa, ishora 
manfiy bo'ladi. Shuni ham qayd etish lozimki, 
y c
ordinatasi albatta to 'g 'ri 
chiziqli epyuradan olinishi zarur. Agar har ikkala epyura to 'g 'ri chiziqli 
bo'lsa, u holda ordinatani qaysi epyuradan olinishining farqi yo'q.
Trapetsiya shaklli ikki epyura ko'paytiriladigan bo'lsa, ulardan birining 
og'irlik markazini topish o'rniga trapetsiyalardan birini ikkita uchburchak- 
ka ajratgan qulay. Bunda ajratilgan uchburchaklardan yuza olinib, trapet- 
siyadan shu uchburchaklarning og'irlik markazlariga mos bo'lgan ordinata­
lar olinadi (9.12- rasm, a). Bu hoi uchun tayyor formula bor:
Qavs ichida quyidagi miqdorlaming yig'indisi berilgan: epyuralar chap 
ordinatalari ko'paytmasining ikkilangani, o 'n g ordinatalar ko'paytmasining 
ikkilangani, birinchi epyura chap ordinatasini ikkinchi epyura o'ng ordina- 
tasiga ko'paytmasi, shuningdek birinchi epyura o 'n g ordinatasini ikkinchi 
epyura chap ordinatasiga ko'paytm asi.
Ko'paytiriladigan epyuralardan biri yoki har ikkalasi turli ishorali uch­
burchaklardan tashkil topsa, yana yuqoridagi usuldan foydalanilsa bo'ladi 
(9 .12-rasm b). Buning uchun epyuralardan birini ABC va ABD uchbur- 
chaklariga to'Idiramiz. Hosil bo'lgan CBK va AKD uchburchaklarining or­
dinatalari teng va ishoralari qarama-qarshi boMganligi uchun hisob natijalari- 
ga ta’sir etmaydi.
—
y c
+ —
y h =
- ( 2
ac + 2b d + a d + be
) .
2 
2 
b

---

Epyuralar ko'paytm asi (9 .12-rasm, b) quyidagi formuladan topiladi:
al
’ 2
/ 
ч 
a l 
Ы
\ - У ь ) = — У а + — Уь.
K o'chishlarni Vereshchagin usulida aniqlaganda, turli shakllam ing yu- 
zalari va og'irlik markazlarini topishga to 'g 'ri keladi.
Oddiy geometrik shakllam ing yuza va o g 'irlik markazlarini aniqlash 
o'q u v ch ig a o 'rta m aktabdan m a’lum. 9.13-rasm da parabolik epyuraning 
yuzasi va og'irlik markazlari berilgan.
m, = jlh
co, = lrlh
V ereshchagin usulini bikrligi o'zgarm as b o 'lg an balka va ramalarda 
qo'llash maqsadga muvofiqdir. Agar bikrlik elem entning uzunligi bo'ylab 
o'zgaruvchan bo'lsa, u holda 
E J
ni integraldan tashqariga chiqarib bo'lmaydi, 
shu sababli Vereshchagin formulasidan foydalanib bo'lm aydi. Bunday hol­
larda ko'chishlar Mor integralini bevosita yechish y o 'li bilan aniqlanadi.