Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

1
6
b
 
 olur. Böylece 
1
2
3
, ,
b b b  katsayıları da 
 
 
1
2
3
1
1
0,
,
6
6
b
b
b

 
 
 
şeklinde belirlenmiş olur. 
Bulunan bu değerler için üçüncü sistemi değerlendirelim : 

158 
 
 
 
1
3
1
3
1
3
2
7
12(
)
6
7
12(
)
6
7
11(
)
6
c
c
c
c
c
c
c


 




 





 

 
olur.  Önceki  iki  sistemi  yorumlarken  göz  önünde  bulundurulan  hususlar,  bu  sistem  için  de 
aynen tekrarlanacaktır. Bu düşünceden hareket edilerek, 
 
 
1
3
2
2
1
3
7
7
72
6
7
72
66
c
c
c
c
c
c

  


 


   

 
bulunur. 
Böylece sistem 
 
 
1
3
7
72
c
c

 
 
bağıntısına  indirgenmiş  olur.  Keyfi  olarak 
1
0
c

 seçilirse, 
3
7
72
c
 
bulunur.  Demek  ki,  
1
2
3
, ,
c c c  katsayıları 
 
 
1
2
3
7
7
0,
,
72
72
c
c
c

 
 
 
olarak belirlenmişlerdir. 
Katsayıların bu işlemler sonucu belirlenmesinden sonra, üçüncü kök için üçüncü çözüm takımı 
 
 
2
2
2
2
2
3
3
3
1
7
1
7
,
(
)
,
(
)
6
72
6
72
t
t
t
x
t e
y
t
e
z
t
t
e




 

  

 
olacaktır. Artık incelemekte olduğumuz sistemin genel çözümü ifade edilebilecektir. Gerekli 
düzenlemelerin de yapıldığı varsayımıyla, 
1
2
3
,
,
C C C keyfi sabitler olmak üzere, genel çözüm 
 
 
2
2
2
2
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
3
( )
1
1
7
( )
(
)
12
6
72
1
1
7
( )
(
)
(
)
12
6
72
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C te
C t e
y t
C e
t
C e
z t
C e
t
C e
t
t
C e















 
 




 
  
  


 
olarak ifade edilecektir. Hatta bu sonuç yeni bir düzenlemeyle, 

159 
 
 
 
2
2
3
2
1
2
3
2
3
2
2
3
2
3
1
2
3
( ) (
)
1
1
( ) [
(6
7 )]
6
72
1
1
7
( ) [
(
)
(
)]
6
12
72
t
t
t
x t
C t
C t C e
y t
C t
C
C e
z t
C t
C
C t
C
C
C e










 





 






 
şeklinde de yazılabilecektir. 
 
Örnek. 
2
2
2
2
6
5
2
2
0
2
2
4
6
0
6
5
2
0
dx
dy
dz
x
z
dt
dt
dt
d y d z dx
dy dz
x
y
z
dt
dt
dt
dt
dt
dx
dy
dz
x z
dt
dt
dt



















 


 


 
diferansiyel  denklem  sistemini,  her  ne  kadar  normal  bir  homojen  sistem  değilse  de,  önceki 
örneğimizde olduğu gibi, operatörleri kullanarak inceleyelim  
d
D
dt

olmak üzere sistem yeniden düzenlenirse 
 
 
2
2
(
2)
6
(5
2)
0
(
2)
(
2
4)
(
6)
0
(
2)
6
(5
1)
0
D
x
Dy
D
z
D
x
D
D
y
D
D
z
D
x
Dy
D
z












 









 
şeklini  alacaktır.  Bu  sistemin, 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



 aşikar  çözümünden  başkaca  çözümünün 
var olup olmadığını araştırıyoruz. Bu amaçla önce katsayılar determinantını hesaplayalım: 
 
 
2
2
3
(
2)
6
5
2
( )
2
2
4
6
(
2)
2
6
5
1
D
D
D
F D
D
D
D
D
D
D
D
D
D




 




   





 
olur. 
3
( )
(
2)
0
F D
D
 

  için 
1,2,3
2
D
 
 
(üç  katlı  kök)  bulunur.  Oysa 
2
D
 
 için  sistem 
düzenlenirse ; 
 
 
12y 12z 0
y z 0
12y 12z 0
12y 11z 0 
12y 11z 0



 














 
sistemine geçilir. Bu y,z bilinmeyenleri için düzenlenmiş x den bağımsız bir lineer homojen 
sistemdir.  Bu  sistemden, 
0
y
z
 
 dan  başka  çözüm  bulunabilmesi  yani  y  ve  z  nin 
hesaplanabilir olması koşulu, bu sistemin katsayılar determinantının sıfır olmasıdır. Oysa, 

160 
 
 
 
1
1
11 12
1 0
12 11
 
    
dır.  Demek  ki  bu  homojen  sistemini,  aşikar  çözüm  dışında  sağlayan  başkaca  bir  çözüm 
bulunamaz. 
Bu sonuca bağlı olarak incelemeye aldığımız diferansiyel denklem sisteminin  
 
 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



 
dan başka bir çözümü bulunamayacaktır. Ayrıca aşikar çözüm olarak adlandırdığımız bu çözüm 
de,  önceden  de  zaman  zaman  belirtildiği  gibi,  keyfi  sabitleri  içermediğinden  genel  çözüm 
niteliğinde değildir. 
Sonuç olarak, seçilen diferansiyel denklemin genel çözümü mevcut değildir. 
 
08.03. Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem Sisteminin Operatörler ile Çözümü 
08.03.01. Basit Halin İncelenmesi 
Öncelikle bu tür sistemleri, alışıldığı biçimde, bir basit model üzerinde inceleyelim. Bu şekilde 
oluşan kavramları ve yöntemleri genellersek, genel hale varmaya çalışalım. Model olarak, yine 
üç bilinmeyen fonksiyonun üç bağıntıdan oluşan bir özel sistemini seçelim.  
Bu sistem 
; (
1, 2,3;
1, 2,3)
ij
a
i
j


sabitlerden oluşan katsayılar ;  
1
2
3
( ), ( ), ( )
f t f t f t fonksiyonlarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, 
 
 
 
11
12
13
1
21
22
23
2
31
32
33
3
( )
( )
( )
dx
a x a y a z
f t
dt
dy
a x a y a z
f t
dt
dz
a x a y a z
f t
dt




















 
 
 
 
 
(8.4) 
şeklinde  seçilmiş  olsun. 
1
2
3
( ), ( ), ( )
f t f t f t  gibi  fonksiyonlara  bazen,  “homojenliği  bozucu 
fonksiyonlar” da denilmektedir. Gerçekten, eğer 
1
2
3
( )
( )
( ) 0
f t
f t
f t



 olsaydı, (8.4) sistemi 
bir lineer-homojen sistemden başka bir şey olmayacaktı. 
Bu tür bir sistem, ilkel bir yaklaşımla, türetme yok etme yönteminin kullanılmasıyla integre 
edilebilir.  Ancak  yöntemin  fazla  pratik  olmaması  nedeniyle  sistemin  genel  oluşumunu 
incelerken göreceğimiz gibi, daha karmaşık sistemlerde bu yöntemin uygulanması pek de kolay 
olmayacaktır. Bu nedenle, henüz bu basit hali incelerken, bu yöntemi kullanmayı önermeyerek; 
bizim  için  daha  yararlı  ve  üzerinde  genellemeye  gitmeye  ortam  hazırlayabilecek  bir  çözüm 
tekniği olarak, burada da operatörlerden yararlanılması yeğlenecektir. Kaldı ki bundan önceki 
altbölümde  operatörlerle  yapılan  çalışmalar,  bize  bu  konuda  hayli  deneyim  kazandırmış 
olmalıdır. 
Yukarıda açıklanan gerekçeye dayalı olarak, (8.4) diferansiyel denklem sistemi, 
d
D
dt

 
olmak üzere yeniden düzenlenirse sistem 

161 
 
 
 
 
11
12
13
1
21
22
23
2
31
32
33
3
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
D a x a y a z
f t
a x
D a
y a z
f t
a x a y
D a z
f t

















 
 
 
 
 
(8.5) 
şeklinde  ifade  edilmiş  olacaktır.  Bu  sistemin,  katsayılar  determinantı  sıfırdan  farklı  olması 
koşuluyla,  böyle  bir  sisteme,  cebirsel  anlamda  bir  homojen  sistem  gibi  yaklaşmak  olanağı 
vardır. 
 
 
11
12
13
21
22
23
31
32
33
( )
0
D a
a
a
D
a
D a
a
a
a
D a






             
 olsun.
 
 
 
1
12
13
2
22
23
1
3
32
33
( )
( )
( )
( )
x
f t
a
a
f t
D a
a
t
f t
a
D a

 



; 
 
 
11
1
13
21
2
23
2
31
3
33
( )
( )
( )
( )
y
D a
f t
a
a
f t
a
t
a
f t
D a


 


; 
 
 
11
12
13
21
22
23
3
31
32
33
( )
z
D a
a
a
a
D a
a
t
a
a
D a


 



 
olarak hesaplanabildiğine göre, Cramer teoremi gereğince, 
 
 
3
1
2
( )
( )
( )
;
;
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
x
z
t
t
t
x
y
z
D
D
D
D
D
D


















 
yazılabilecektir. 
( )
D

ifadesi,  modelimize  göre  D  nin  3.dereceden  bir  tam  çokterimlisidir. 
Buna göre çözüm yeniden düzenlenirse; 
 
 
1
2
2
( )
( ); ( )
( ); ( )
( )
D x
t
D y
t
D z
t









 
olur  ki    bunlar,  karakteristik  denklemleri 
( ) 0
D


olarak  aynı  ancak  ikinci  yandaki 
fonksiyonlar  itibariyle  farklı  birer  adi  ve  sabit  katsayılı  diferansiyel  denklemdirler.  Bu  tür 
diferansiyel denklemlerin genel çözümlerinin ne şekilde bulunacağına dair, bütün ayrıntıları da 
içeren bilgiler 1. ciltte bulunmaktadır. Yani önceliği itibariyle bu çözümler, bizce bilinmektedir. 
İncelemeye ayrı ayrı alacağımızdan, bu diferansiyel denklemlerin her biri üçüncü mertebeden 
bir denklem olup, genel çözümleri ifade edildiği zaman, 
 
 
 
 
1
1
2
3
1
2
4
5
6
2
3
7
8
9
3
( )
( , , , )
( )
( )
( , , , )
( )
( )
( , , , )
( )
x t
t c c c
h t
y t
t c c c
h t
z t
t c c c
h t














  
 
 
 
(8.6) 

162 
 
şeklinde  çözümlerle  karşılaşılacaktır.  Anlaşılacağı  gibi  fonksiyonlar  birbirlerine  bağlı 
olmaksızın  çözümlendiğinden,  her  seferinde  farklı  keyfi  sabitlerin  kullanılması  zorunluluğu 
sonucunda, ortaya dokuz farklı keyfi sabit çıkmıştır. Oysa sistemin mertebesi, altbölüm 13. deki 
tanıma  uygun  olarak  3  tür.  Biliyoruz  ki  sistemimizin  genel  çözümünde  de,  sistemin  mer-
tebesine eşit sayıda keyfi sabit bulunacaktır. Bu nedenle iddia edilebilir ki (8.6) çözümünde yer 
alan  keyfi  sabitler,  aralarında  lineer  bağımlıdır.  Öyleyse  bu  ilişkinin  belirlenmesi  ve  bunun 
yardımıyla  (8.6)  çözümünün  tanıma  uygun  olarak  yeniden  düzenlenmesi  gerekir.  (8.6) 
çözümündeki 
1
2
( ), ( )
h t h t  ve 
3
( )
h t fonksiyonları  ise  diferansiyel  denklemlerin  ikinci  yanla-
rında bulunan fonksiyonlarla ilintili olarak elde edilen özel çözümlerdir. 
Keyfi  sabitler  arasındaki  ilişkilerin  belirlenmesinde,  sistemdeki  denklemlerden  yararlanılır. 
(8.6)  çözümü,  sistemdeki  her  bağıntıyı  ayrı  ayrı  özdeş  olarak  sağlayacaktır.  Bu  kavramdan 
hareket  ederek,  (8.6)  de  ifade  edilen  çözüm  sisteme  uygulanırsa,  keyfi  sabitler  arsında 
sistemlere  bağlı  ilişkiler  böylece  düzenlenmiş  olur.  Bu  sistemlerde, 
1
2
3
, ,
c c c  keyfi 
bilinmeyenler olarak seçilmek suretiyle, 
 
 
4
1
1
2
3
7
4
1
2
3
5
2
1
2
3
8
5
1
2
3
6
3
1
2
3
9
6
1
2
3
( , , );
( , , )
( , , );
( , , )
( , , );
( , , )
c
u c c c
c
u c c c
c
u c c c
c
u c c c
c
u c c c
c
u c c c






 
şeklinde  ifadelere  varılıyorsa,  genel  çözüm  sadece 
1
2
3
, ,
c c c  keyfi sabitlerini içerecek şekilde 
düzenlenebilecektir. Böylece genel çözüm 
 
 
1
1
2
3
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
2
3
4
1
2
3
5
1
2
3
6
1
2
3
3
( )
( , , , )
( )
( )
[ , ( , , ), ( , , ), ( , , )]
( )
( )
[ , ( , , ), ( , , ), ( , , )]
( )
x t
t c c c
h t
y t
t u c c c u c c c u c c c
h t
z t
t u c c c u c c c u c c c
h t














 
şeklinde ifade edilebilecektir. 
 
Örnek.  
4
5
2
2
t
t
dx
dy
y
e
dt
dt
dx
dy
y
e
dt
dt


 







 
diferansiyel  denklem  sistemi  verilmektedir.  Sistemin  ikinci  yanında  homojenliği  bozucu 
fonksiyonlar vardır. Sistem sabit katsayılıdır. 
d
D
dt

 
olmak üzere sistemi operatör kullanarak yeniden düzenleyelim: 
 
 
4
5
(
1)
2
(
2)
t
t
Dx
D
y e
Dx
D
y e









 
olur. 
 
 
2
1
( )
4
0
2
2
D
D
D
D D
D D







 

163 
 
dır. Öyleyse bu sistemden, Cramer teroremi yardımıyla 
( )
x t
 ve 
( )
y t
fonksiyonları, birbirlerine 
bağımlı olmaksızın incelenebilecektir. 
 
 
4
4
5
4
5
5
4
5
4
5
4
5
1
(
2)
(
1)
6
4
2
( ) 2 ( ) 5
8
2
t
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
t
y
t
e
D
D
e
D
e
e
e
e
D
D
e
D e
D e
e
e
D e

 







 




 
olarak 
 
 
4
5
1
2
5
4
2
2
( )
6
4
( )
( )
4
( )
5
8
( )
( )
4
t
t
x
t
t
y
t
e
e
x
D
D
D D
t
e
e
y
D
D
D D


















 
yazılabilecektir. Buradan da teknik inceleme sırasında açıklandığı gibi 
 
 
2
5
4
2
4
5
(
4 )
4
6 ;(
4 )
8
5
t
t
t
t
D
D x
e
e
D
D y
e
e






 
şeklindeki diferansiyel denklemlere varılacaktır. Bu denklemleri ayrı ayrı integre edelim : 
 
 
2
5
4
2
4
5
(
4 )
4
6 ;(
4 )
8
5
t
t
t
t
D
D x
e
e
D
D y
e
e






 
diferansiyel denklemlerinin homojen kısmı,  
2
(
4 )
0
D
D x

  ve 
2
(
4 )
0
D
D y

  olup 
2
4
0
D
D


 ortak karakteristik denklemdir. Bundan 
1
0
D
 ve
2
4
D
 bulunur.  Buna  göre  her  iki  denklem  için,  ikinci  yansız  denklemlerin  genel 
çözümleri, farklı keyfi sabitler kullanılarak ; 
 
 
4
4
1
1
2
1
3
4
;
t
t
x
c
c e
y
c
c e
 


 
şeklinde ifade edilecektir. 
Özel çözümlere gelince : 
 
 
2
5
4
(
4 )
4
6
t
t
D
D x
e
e



 için 
5
4
1
4
3
( )
5
2
t
t
h t
e
te


 
 
 
2
4
5
(
4 )
8
5
t
t
D
D y
e
e



 için 
4
5
2
( ) 2
t
t
h t
te
e


 
bulunacaktır. Bunlarla ilgili ve önceki bilgilere dayanan ana işlemler okuyucuya bırakılmıştır. 
Bu aşamalardan sonra 
( )
x t
ve 
( )
y t
fonksiyonlarının genel çözümü yazılabilecektir. 
 
 
4
5
4
1
1
1
2
4
4
5
1
2
3
4
4
3
( )
5
2
( )
2
t
t
t
t
t
t
x t
x
h
c
c e
e
te
y t
y
h
c
c e
te
e

   





 
 



 
olur. 
( )
x t
 ve 
( )
y t
 fonksiyonlarının bu şekilde belirlenmesine karşın, bu sonuç sistemin genel 
çözümü  olarak  alınamaz.  Çünkü 
2
( ) 4
D
D D



olarak 
D
 nin  2.  dereceden  bir  tam  çok 
terimlisidir. Bu, sistemin mertebelerinin 2 olduğunu, başka bir yaklaşımla da, sistemin genel 
çözümünde ancak ve ancak iki tane keyfi sabitlerin bulunabileceğini gösterir. Bu düşünceden 

164 
 
hareket ederek, 
1
2
3
4
, , ,
c c c c keyfi sabitleri arasındaki ilişkiyi belirlemeye çalışalım. Bunun için 
sistemdeki bağıntılara gidelim : 
Sistemdeki ilk bağıntıdan :      
4
2
4
3
1
(4
3
)
0
2
t
c
c
e
c




 
Sistemdeki ikinci bağıntıdan :  
4
2
4
3
(8
6
1)
2
0
t
c
c
e
c




 
bulunacaktır. Gerçekten bunlar da birbirleriyle aynı bağıntılardır. Bu bağıntılar özdeş olarak 
sağlanacaklarından, 
 
 
3
3
2
4
4
2
0
0
1 1
8
6
1 0
6 4
c
c
c
c
c
c









 
 


 
bulunur. Burada dikkati çeken, 𝒸
1 
keyfi sabitinin bu bağıntılarda yer almamasıdır. Bu her zaman 
böyle  gerçekleşmez.  Ancak  burada  olduğu  gibi  sonuç  bir  keyfi  sabitle  bağımlı  olmaksızın 
düzenlenebilmişse,  genel  çözüm  yazılırken  bu  keyfi  sabit  ya  aynen  bırakılır  (bu  çözümde 
olduğu  gibi)  ya  da  öyle  gerektiriyorsa,  yerine  bir  keyfi  sayı  konulabilir.  Hatta  ifadeyi