Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

3
1
2
1
3
[ .(
)]
[ .
. ]
D D
D y
D D
D D y



              Dağılma özelliği 
 
Bunların  dışında  onlar  çarpanlarına  ayrılabilir,  türetilebilir  hatta  integre  edilebilir.  Bu  kısa 
tanıtımdan sonra esas konumuza dönülürse, operatörleri kullanarak, bir diferansiyel denklem 
sisteminin çözümü araştırılırken ne gibi kolaylıklar sağladığı görülmüş olacaktır. 
 
 
 
 

139 
 
08.02. Homojen Diferansiyel Denklem Sisteminin Operatörler ile Çözümü 
Bu bölümde de yine (2.14) deki sistemi model olarak seçip, bu diferansiyel denklem sistemi ile 
çalışacağız. Burada varılan bazı sonuçlar genellenerek n bilinmeyenli n denklemli bir lineer-
homojen diferansiyel denklem sistemine genişletme yapılabilecektir.
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
dx
a x b y c z
dt
dy
a x b y c z
dt
dz
a x b y c z
dt

















  
   
(8.1) 
sistemi, 
d
D
dt

  türev operatörü olmak üzere 
 
 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D a x b y c z
a x
D b y c z
a x b y
D c z





  



 




   
 
 
(8.2)
 
 
şeklinde ifade edilecektir. Bu sistemlerin önceden de belirtildiği gibi 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



olan 
bir  çözümü  vardır  ki  buna  aşikar  (trivial)  çözüm  denildiğini  biliyoruz.  Burada  da  “sistemin 
çözümü”  denilince  amaç,  aşikar  çözümden  başkaca  çözümlerinin  var  olup  olmadığı 
araştırılmalıdır. Bu tür çözümleri varsa sistemin, bunun ön koşulu (8.2) deki sistemin katsayılar 
determinantının sıfıra eşit olmasıdır. 
 
 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
( )
0
D a
b
c
F D
a
D b
c
a
b
D c



   






 
 
 
(8.3) 
Bu sağlanıyorsa, çözümlerin araştırılmasına geçilebilir. 
( ) 0
F D
 

denklemi  önceki  uygulamamızdaki  “karakteristik  denklem”  yerine  geçmiş 
olacaktır.  Burada
D
operatörü, 

 parametresinin  rolünü  üstlenmiş  olmaktadır. 
( ) 0
F D

 
denkleminin kökleri 
1
2
3
,
,
D D D  ise bunlar aynen 
1, 2
3
,
    kökleri gibi işleme sokulacaklardır. 
1
2
3
,
,
D D D D D D



için 
1
2
3
( )
(
)
(
) 0
F D
F D
F D
 



olacağından, 
bunların 
belirlenmesiyle genel çözümün yazılması olanaklı hale gelecektir. 
Uygulamaya  geçmeden  önce 
( ) 0
F D

denkleminin  bir  başka  özelliğinden  daha  söz  etmek 
gerekmektedir.
( )
F D
 bir cebirsel çok terimli olup bunun derecesi, genel çözümde bulunması 
gereken keyfi sabitlerin sayısını göstermektedir. 
 
 
 

140 
 
Örnek. 
3
5
dx
x y
dt
dy
x
y
dt

  



  

 
lineer-homojen sistemini bir kez türev operatörünü kullanarak inceleyelim.  
d
D
dt

 
olmak üzere sistem 
 
 
 
(
3)
0
(
5)
0
D
x y
x
D
y




  


 
şeklini alır. 
  
 
2
3
1
( )
(
4)
0
1
5
D
F D
D
D


 





 
olur. Demek ki 
1,2
4
D
 
 
için d
( ) 0
F D

 dır.. 
İki katlı kök (çakışık kökler) vardır. Önceki incelememizdeki çözüm takımları şimdi doğrudan 
yazılabilir. 
4
4
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e




olsun. 
1
4
D
 
 için  sistemden 
1
2
k
k
   bulunur.  Keyfi  olarak 
2
1
k
   seçilirse 
1
1
k
  olup,  çözüm 
takımı 
4
4
1
1
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e




  olur. 
2
4
D
   (çakışık kök) için inceleme şu şekilde gerçekleştirilir: 
 
 
4
4
1
1
2
2
( ) (
)
, ( ) (
)
t
t
x t
k t l e
y t
k t l e






 
önerilirse,  sistemden 
1
2
0
k
k

  ve 
1
2
1
l
l
k
   ilişkileri  bulunur. 
1
k keyfi  olarak  1  seçilirse 
2
1
k
   olup 
1
2
1
l
l
   demektir. Keyfi olarak 
1
2
1
2
l
l
 
 seçilirse ikinci kök için temel çözüm 
takımı 
 
 
4
4
2
2
1
1
( ) (
)
,
( ) (
)
2
2
t
t
x t
t
e
y t
t
e


 
  
 
şeklinde elde edilir. 
( ) 0
F D
 

denklemi ikinci dereceden olup sistemin genel çözümünde 
iki keyfi sabit bulunacaktır. Bunlar 
1
C  ve 
2
C  olsunlar. Öyleyse genel çözüm 
 
 
4
4
1
2
4
4
1
2
1
( )
(
)
2
1
( )
(
)
2
t
t
t
t
x t
C e
C t
e
y t
C e
C
t
e







 

 
 
şeklinde oluşmuştur. 

141 
 
Bu  basit  örneklemeden  sonra  (8.2)  sistemi  üzerinde  daha  kapsamlı  bir  çalışmaya  geçil-
ebilecektir. 
 
08.02.01. F(D)=0  Denkleminin Basit Kökleri Bulunması Hali : 
(8.3) de sözü edilen 
( ) 0
F D
 

 karakteristik denkleminin köklerinin basit ve ayrık kökleri 
bulunması halinde aşağıda açıklandığı şekilde bir çalışma yeğlenecektir. 
( ) 0
F D
 

denkleminin kökleri 
1
2
3
,
,
D D D  olsun. Bunlar için çözüm takımları 
 
 
 
1
1
2
2
3
3
1
11
1
21
2
12
2
22
3
13
3
23
( )
, ( )
( )
, ( )
( )
, ( )
D t
D t
D t
D t
D t
D t
x t
k e
y t
k e
x t
k e
y t
k e
x t
k e
y t
k e






 
şeklinde  düzenlenecektir.  Görülüyor  ki  bunlar  D  operatörü  yardımıyla  bir  hamlede 
yazılabilmektedir.  Burada  hesaplanması  gerekenler 
11
12
13
21
22
23
,
,
;
,
,
k k k k k k
 katsayılarıdır. 
Bunları belirlemek için her D değerine ait işlemler ayrı ayrı gerçekleştirilmelidir. Buna dair 
ayrıntılar aşağıdaki örnek üzerinde görülmektedir. 
 
Örnek. 
4
4
3
4
5
2
5
6
2
dx
z
y
x
dt
dy
z
y
x
dt
dz
z
y
x
dt

  




  




  


 
sistemini inceleyelim. 
d
D
dt

türev operatörü olmak üzere, sistem 
 
 
(
3)
4
4
0
2
(
5)
4
0
2
6
(
5)
0
D
x
y
z
x
D
y
z
x
y
D
z





    

   


 
şeklini alır. 
 
 
3
3
4
4
( )
2
5
4
3
3 0
2
6
5
D
F D
D
D
D D
D


 
 



  



 
olup buradan 
1
2
3
1,
1,
3
D
D
D
 

  bulunur. 
Demek ki temel çözüm takımları 

142 
 
 
 
1
11
1
12
1
13
2
21
2
22
2
23
3
3
3
3
31
3
32
3
33
( )
, ( )
, ( )
( )
, ( )
, ( )
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
k e
y t
k e z t
k e
x t
k e y t
k e z t
k e
x t
k e y t
k e z t
k e













 
şeklinde  ifade  edilebileceklerdir.  İş  sadece  katsayıların  belirlenmesine  kalmıştır.  Bunları  da 
sırasıyla gerçekleştirelim : 
1
1
D
 
 için 
 
1
( )
( 1) 0
F D
F

   olup, sistemden 
 
 
11
12
13
11
12
13
11
12
13
1
3
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k







 
ilişkisine  varılır.  Keyfi  olarak 
13
2
k
 seçilirse 
11
12
1
k
k


 olur.  Bunlar  için  temel  çözüm 
takımı 
 
 
1
1
1
( )
, ( )
, ( ) 2
t
t
t
x t
e
y t
e
z t
e






 
şeklinde oluşur. 
2
1
D

 için 
2
(
)
(1) 0
F D
F
 

 olup, sistemden 
 
 
21
22
23
21
22
23
21
22
23
2
2
0,
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k







 
ilişkisine varılır. 
22
k keyfi olarak 1 alınırsa 
23
1
k
  olur. Böylece çözüm takımı 
 
 
2
2
2
( ) 0,
( )
, ( )
t
t
x t
y t
e z t
e



 
şeklinde oluşur. 
3
3
D
 için; 
3
( )
(3) 0
F D
F
 

 olup, sistemden 
 
 
32
33
31
32
33
31
32
33
31
32
33
0
2
0
3
4
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k






 








 
ilişkisine  varılır.  Keyfi  olarak 
13
1
k
  seçilirse
32
33
1
k
k

  olur.  Böylece  çözüm  takımı  
3
3
3
3
3
3
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
x t
e
y t
e
z t
e



 şeklinde oluşur. 
Artık genel çözüm yapılabilecektir. 
1
2
3
,
,
C C C  keyfi sabitler olmak üzere 
 
3
1
3
3
1
2
3
3
1
2
3
( )
( )
( ) 2
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C e
y t
C e
C e
C e
z t
C e
C e
C e
















           
 
bulunur. 
 

143 
 
08.02.02. F(D)= 0 Denkleminin Çakışık Köklerinin Bulunması Hali : 
(8.3)  de  sözü  edilen 
( ) 0
F D
 

karakteristik  denkleminin  köklerinin  bir  kez  çakışık 
oldukları  varsayılmaktadır.  Çakışık  kökler 
1
2
3
D
D
D


olsun.  Bunların  her  biri  için  temel 
çözüm takımlarının belirlenmesi gerekmektedir. 
1
D D

 için normal bir araştırma yapılacaktır (ilk kök). Temel çözüm takımı 
1
1
1
1
1
1
2
1
3
( )
, ( )
, ( )
D t
D t
D t
x t
k e
y t
k e
z t
k e



 
olsun. 
1
( )
( ) 0
F D
F D


 olacağından,  (8.2) den 
 
 
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1 2
1 3
2 1
1
2
1
2 1
2 1
1
2
2
2 3
3 1
3 1
1
3
1
3 1
3 2
1
3
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D
a x
b y
c z
D
a k
b k
c k
a x
D b y
c z
a k
D b k
c k
a x
b y
D
c z
a k
b k
D c k
















  




















 
olup buradaki bağıntılar aralarında lineer bağımlıdır. Dolayısıyla 
 
 
3
1
2
1
1
1
k
k
k





 
şeklinde  bir  ilişki  oluşacaktır. 
1
2
3
, ,
k k k  orantılı olduğu sayılarla eşleştirilirse (en basit seçim 
budur) 
1
1
2
1
3
1
,
,
k
k
k






 olur. Böylece ilk temel çözüm takımı 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
, ( )
, ( )
D t
D t
D t
x t
e
y t
e
z t
e






 
şeklinde bulunur. 
2
D D

 için (çakışık köklerden ilki) : 
2
(
) 0
F D

 dır ve (8.2) sisteminden 
 
 
2
1
2
1 2
1 2
2 2
2
2
2
2 2
3 2
3 2
2
3
2
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D
a x
b y
c z
a x
D
b y
c z
a x
b y
D
c z

















 
cebirsel sistemi bulunur ki temelde ilk sistemle benzer özelliklere sahiptir. Örneğin bu sistemin 
katsayılar determinantı sıfıra eşittir ve bunun bir sonucu olarak sistemdeki bağıntılar, aralarında 
lineer bağımlıdır.  
Bunlardan, katsayılar determinantı sıfırdan farklı olan iki bağıntı ilk iki bağıntı olarak seçilirse, 
 
 
2
1
1
2
2
2
0
D
a
b
a
D
a





 
olmak koşuluyla sistem 
 
 
2
1
2
1 2
1 2
2 2
2
2
2
2 2
(
)
(
)
D
a x
b y
c z
a x
D
b y
c z









 
şeklinde düzenlenirse, 

144 
 
 
 
2
1
1
1
1
2
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
D
a
b
c
b
D
a c
a
D
b
c D
b
a
c













 
alınmak suretiyle, gerekli düzenlemeler yapıldığı takdirde 
 
 
2
2
2
2
2
2
x
y
z





 
ilişkisi bulunacaktır. 
2
D D

 için 
2
D t
e
 çarpanı kullanılacağından, çözüm takımı,  
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
D t
D t
D t
x
e
y
e
z
e






 
olarak ifade edilecektir. 
2
D D

 (çakışık köklerin ikincisi ) için yine 
2
(
) 0
F D

 dır. Sistemde D yerine 
2
D  koyarak bir 
düzenlemeye gider ve çözüme ulaşmaya çalışırsak, bir önceki sonuca aynen ulaşılacak, başka 
bir fark oluşmayacaktır. Yani bu kök için yeni bir sonuca ulaşılmış olunmayacaktır. 
2
2
2
, ,
x y z  
çözüm takımıyla lineer bağımlı olmayan bir başka çözüm takımı elde edebilmek için 
1
2
3
, ,
k k k  
hesaplanması gereken sabit terimler olmak üzere, bu kez  
 
 
2
2
2
3
2
1
3
2
2
3
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t k e
y
t k e
z
t k e









 
önerilir.  Bu  çözüm  takımı  (8.2)  sistemini  sağlamalıdır.  Bu  çözüm  takımı  yazılırken,  t  lerin 
katsayıları, çakışık köklerin ilki için bulunan katsayılar olarak seçilmiştir. Bu hesaplamalarda, 
pratiklik açısından oldukça kolaylıklar sağlanacaktır. 
 
 
2
2
2
3
3
2
2
2
2 1
3
3
2 2
2
2 2
3
3
2 2
2
2 3
(
)
(
)
(
)
D t
D t
D t
dx
Dx
D
t
D k e
dt
dy
Dy
D t
D k e
dt
dz
Dz
D
t
D k e
dt

















 
türevleriyle sisteme gidilirse ve gerekli düzenlemeler yapılırsa, 
 
 
2
1
2
1 2
1 2
2
1
1
1 2
1 3
2
2
2
2
2
2
2 2
2 1
2
2
2
2 3
2
3 2
3 2
2
3
2
3 1
3 2
2
3
3
2
[(
)
]
(
)
[
(
)
]
(
)
[
(
) ]
(
)
D
a
b
c
t
D
a k
b k
c k
a
D
b
c
t a k
D
b k
c k
a
b
D
c
t a k
b k
D
c k



















 

 







 

 







 

 
olur. Burada t nin katsayıları olan köşeli parantez içindeki ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşittir. Çünkü 
bu 
 
 
2
2
2
2
2
2
x
y
z





 
ilişkisinin bir doğal sonucudur. Öyleyse yukarıdaki sistem 
 
 
2
1
1
1 2
1 3
2
2 1
2
2
2
2 3
2
3 1
3 2
2
3
3
2
(
)
(
)
(
)
D
a k
b k
c k
a k
D
b k
c k
a k
b k
D
c k






 




 




 
 

145 
 
sistemine  dönüşür.  Katsayılar  determinantı  sıfıra  eşit  olduğundan  bu  bir  Cramer  sistemi 
olmayıp ancak buradan 
1
2
3
, ,
k k k  hesaplanabilecektir. Bu sistemin özelliği nedeniyle (katsayılar 
determinantı sıfıra eşit idi ) özel bir inceleme gerekir. 
 
 
2
1
1
2
2
2
0
D
a
b
a
D
b





 
olmak koşuluyla sistem
 
 
 
2
1
1
1 2
1 3
2
2 1
2
2
2
2 3
2
(
)
(
)
D
a k
b k
c k
a k
D
b k
c k











 
şeklinde düzenlenirse, 
1
k  ve 
2
k ; 
3
k parametresine bağımlı olarak; şimdi bir Cramer sistemi gibi 
ele alınmak suretiyle,  
 
 
 
1 3
2
1
2 3
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
c k
b
c k
D
b
k
D
a
b
a
D
b











   ;    
2
2
1 3
2
2
2 3
2
2
2
1
1
2
2
2