Tekislikdagi nuqtalar toʻplami

Ta’rifi, kanonik tenglamasi . Tekislikda har bir nuqtasidan fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha bo’lgan masofalari yig’indisi berilgan PQ kesma uzunligiga teng bo’lgan barcha nuqtalar to’plami ellips deb ataladi. Berilgan kesma uzunligi fokuslar orasidagi masofadan katta.
Berilgan kesmaning uzunligi 2a(a>0) bilan, fokuslar orasidagi masofani 2c(c>0) bilan, belgilaylik. Ta’rifga ko’ra a>c.Ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtaning fokuslaridan masofalari uning fokal radiuslari deyiladi va mos ravishda bilan belgilanadi ya’ni
va .
Ellipsning ta’rifiga ko’ra fokal radiuslarning yig’indisi o’zgarmas bo’lib, berilgan kesma uzunligiga teng, ya’ni
yoki . (1)

y



M (128-chizma)

O x

1. 
   tenglik ellipsga tegishli ixtiyoriy nuqta uchun o’rinli bo’lib, uni koordinatalrda ifodalaylik.
   

Dekart reperini tenglamaning soda bo’lishiga inkon beradigan qilib tanlaymiz: obsissalar o’qini fokuslar orqali ga yunaltirib o’tkazamiz . kesmaning o’rta perpendikulyari 128-chizmada ko’rsatilgan yo’nalilshda ordinatalar o’qi deb olamiz. Tanlangan bu reperda nuqtalarning koordinatalari mos ravishda (c,0) va(-c,0) bo’ladi.
Ellipssdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalari x,y bilan belgilasak , ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko’ra
, (2)
.
ning (2) munosabatlaridagi qiymatlarini (1) tenglikka qo’yib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz :
. (3)
(3)tenglama tanlangan reperga nisbatan elllipsning tenglamasidir, chunki M(x,y) nuqtaning koordinatalari bu tenglamani faqat M nuqta ellipsga tegishli bo’lgan holdagina qanoatlantiradi.
(3)tenglamani kanonik tenglama deb ataluvchi ko’rinishga keltiramiz .
(3)tenlamaning birinchi xadini o’ng tomonga o’tqazib , xosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga oshirsak .

Bundan

yoki

Xosil qilingan tenglamaning ikkala tomonini yana kvadratga oshiramiz
,
Bundan
. (4)
a>c => , demak , bu musbat sonni olaylik:
(5)
U holda (4) tenglik quyidagicha yoziladi:
(6)
(6) ni ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:
(7)
Endi (7) tenglama xaqiqattan xam ellipsni ifodalashini isbot qilamiz, chunki ellips tenglamasi (3) ko’rinishda olingan edi.(7) yenglama (3) temglamani ikki marta radikallardan qutqarish bilan xosil qilindi. Demak (7) tenglama (3) tenglamaning natijasi , boshacha aytganda, koordinatalari (3) ni qanoatlantiradigan har bir nuqta (7) tenglamani ham qanoatlantiradi. Lekin (3) tenglama (7) tenglaning natijasi ekani Ravshan emas. (3) tenglama (7) tenglamaning natijasi ekanini ko’rsatamiz.
(7) tenglamani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqta bo’lsin , ya’ni
(8)
nuqta uchun tengllikning bajarilishini ko’rsatamiz .
nuqtaning fokal radiuslari ,
, (9)
. (10)
tenglikdan , bu qiymatni (9) va (10) tengliklarga qo’yib
. .
Tengllkka ega bo’lamiz . (5) munosabatdan ,
shuning uchun yuqoridagi tengliklar ushbu ko’rinishni oladi:
.
(11)
Yuqoridagi sabalarga ko’ra 0< ,(8) tenglikdan => | | a.
U holda | | (12)
(12)tenglikni hadlab qo’shsak,

ga ega bo’lamiz. Demak koordinatalari (7) tenglamani qanoatlantiradigan har qanday nuqta ellipsga tegishli. (7) tenglama ellipsning kaninik tenglamasi deyiladi.
(12) tengliklardan ushbu xulosa kelib chiqadi: ellipsning ixtiyoriy M(x,y) nuqtasining fokal radiuslari bu nuqtaning obsissasi orqali
va (13)
ko’rinishda chiziqli ifodalanadi.
Agar xususiy holda a=b bo’lsa ellipsning tenglamasi

ko’rinishni oladi. Bu tenglama markazi koordinatalar boshida va radiusi ga teng aylanani ifodalaydi . Demak , aylana ellipsning xususiy holi .