Xarakteristik funksiyalar (,F,P) ehtimollik fazosida  tasodifiy miqdor berilgan bo`lsin. Ta`rif

Isboti: Ta`rifga asosan:

.

3⁰. Ikkita bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisining xarakteristik funksiyasi qo`shiluvchilar xarakteristik funksiyalari ko`paytmasiga teng:



Isboti: va lar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsinlar, u holda va tasodifiy miqdorlar ham bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`ladilar. Matematik kutilmaning xossasiga asosan



Natija: Agar va har bir qo`shiluvchi qolganlari yig`indisiga bog`liq bo`lmasa,



4⁰. xarakteristik funksiya da tekis uzluksiz.

Isboti:

Oldin berilgan uchun, A ni shunday tanlaymizki, so`ngra ni shunday tanlaymizki, bo`lsin, natijada

bo`ladi.

5^o.

Bu yerda , ning kompleks qo`shmasi.

Bu xossaning isboti

tenglikdan kelib chiqadi.

Quyidagi Poya teoremasini isbotisiz keltiramiz.

6^o . Poya teoremasi, ,( ) quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo`lsin:

a) 0, (0)=1, va t da (t)0.

b) funksiya uzluksiz, juft va botiq.

Bundan funksiya biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo`ladi.

1- teorema. Agar  tasodifiy miqdor n-tartibli absolyut momentga ega bo`lsa, xarakteristik funksiya n marta diffyerenstiallanuvchi va k n uchun

(2)

va

(3)

bu yerda t0 da va barcha t lar uchun

Isboti: Xarakteristik funksiyasi k marta formal diffyerenstiallash quyidagiga olib keladi:

(4)

bo`lganligi uchun teorema shartidan (4) integralning mavjudligi va differensiallashning qonuniyligi kelib chiqadi.

(4) da deb olsak

kelib chiqadi.

(3) ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Ma`lumki,

Shuning uchun bu yerda va - tasodifiy miqdorlar va .

(3) ga ega bo`lish uchun oxirgi tenglikning ikkala tomonidan matematik kutilma olish kyerak.
Endi ayrim muhim taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini qaraymiz.

1- misol. Agar bo`lsa,