«Matematika» fanidan yakuniy nazorat 17-sonli yozma ish varianti

«Matematika» fanidan yakuniy nazorat
17-SONLI YOZMA ISH VARIANTI

1. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari

1-ta’rif. noma'lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi deb,

ga aytiladi. Bu yerda (i - satr, j - ustun, , ( ) lar berilgan sonlar bo`lib, lar sistemaning koeffitsiyentlari, ( ) - lar esa ozod hadlar, - lar o`zgaruvchilar yoki noma'lumlar deyiladi va ular ixtiyoriy qiymatlar qabul qiladilar.

2-ta’rif. Agar sonlarni lar o`rniga mos ravishda qo`yganimizda (1) sistemaning har bir tenglamasi to`g`ri sonli tenglikka aylansa, u holda vektor berilgan sistemaning yechimi deyiladi.
3-ta’rif. Agar (1) sistemaning yechimi bo`lsa, u birgalikda; yechimi bo`lmasa, birgalikda emas; faqat bitta yechimi bo`lsa, u aniq sistema; cheksiz ko`p yechimi bo`lsa, u aniqmas sistema deyiladi.
4-ta’rif. Agar ( ) ozod hadlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistema deyiladi.
5-ta’rif. Agar ( ) ozod hadlarning barchasi nolga teng, ya’ni

bo’lsa, bir jinsli tenglamalar sistemasi deyiladi.

Teorema (Kroneker – Kapelli teoremasi)
(1) sistema birgalikda bulishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng bo`lishi zarur va yetarlidir.
Bu yerda,.
(2) sistema yechimga ega. Demak, har qachon birgalikda bo`ladi. Yuqoridagi yechim - trivial yechim bo`lib, amaliyot uchun notrival yechimlarning mavjud bo`lishi muhim ahamiyatga ega.
Teorema. Agar (2) sistemaning rangi uchun tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda sistema notrival yechimga ega bo`ladi.Kramer usuli.
Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi:

Uning asosiy determinant 0 bo`lganda yagona yechimga ega va Kramer qoidasi bo`yicha quyidagi formulalar bilan hisiblanadi:

bu yerda lar yordamchi determinantlar deyiladi.
Agar va shu bilan birga lardan hech bo`lmasa bittasi noldan farqli bo’lsa, sistema yechimga ega bo’lmaydi.
Agar bo`lsa, u holda sistema cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan;

Uning asosiy determinanti

bo’lganda yagona yechimga ega bo’lib, u Kramer formulalari orqali quyidagicha hisoblanadi.

Agar va shu bilan birga lardan hech bo`lmaganda bittasi noldan farqli bo`lsa, sistema yechimga ega bo’lmaydi.

Agar bo`lsa, u holda sistema cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
2.Gauss usuli.
ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini n ning yetarlicha katta qiymatlarida Kramer qoidasi bilan yechish bir nechta yuqori tartibli determinantlarni hisoblashni talab etadi. Shuning uchun ularni Gauss usulidan foydalanib yechish maqsadga muvofiq. Bu usulda noma’lumlar ketma-ket yo`qotilib, sistema uchburchak shaklga keltiriladi. Agar sistema uchburchaksimon shaklga kelsa, u yagona yechimga ega bo`ladi va uning noma’lumlari oxirgi tenglamadan boshlab topib boriladi. Sistema cheksiz ko`p yechimga ega bo`lsa, noma’lumlar ketma-ket yo`qotilgach, u trapetsiyasimon shaklga keladi.
CHiziqli almashtirishlar bajarilayotganda;
a) Ayrim tenglamalar ko`rinishga kelib qolsa, ular tashlab yuboriladi. Bu hol sistemaning rangi m dan kichik ekanligini bildiradi;
b) Biror tenglama ko`rinishga kelib qolsa, bu hol tenglama birgalikda emasligini bildiradi. U vaqtda barcha hisoblar to`xtatilib “sistema birgalikda emas” deb javob yoziladi.
3.Matritsalar usuli.
n ta noma’lumli n ta chiziqli tenlamalar sistemasi berilgan:
Berilgan chiziqli tenglamalar sistemasini matritsa ko`rinishida kabi yozish mumkin.
Agar maxsusmas matritsa, ya`ni 0 bo`lsa, u holda bu sistemaning matritsa yechimi ushbu ko`rinishga ega bo`ladi:
Agar bo’lsa, sistemaning determinant noldan farqli bo’lib , u yagona yechimga ega bo’ladi; agar bo’lsa , u cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi .
Agar barcha ozod hadlar nolga teng bo’lsa , tenglamalar sistemasi bir jinsli deyiladi. Bunday tenglamalar sistemasida har doim , shuning uchun bir jinsli sistema birgalikda bo’ladi. Bir jinsli tenglamalar sistemasiniqiymatlar qanoatlantiradi, lekin matritsaning rangi noma’lumlar sonidan kichik bo’lganda uning determinanti nolga teng bo’lib , sistema notrivial yechimga ega bo’ladi.

2. Tekislikdagi to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi. Ikki nuqta orasidagi masofa..

Koordinata usuli: son qatori, chiziqdagi koordinatalar; tekislikdagi to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalar tizimi; qutb koordinatalari.

Keling, to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik. Undagi yo'nalishni (keyin u o'qga aylanadi) va 0 nuqtasini (boshlang'ich nuqta) tanlaymiz. Yo'nalishi va kelib chiqishi tanlangan to'g'ri chiziq deyiladi koordinatali chiziq(bu holda biz masshtab birligi tanlangan deb hisoblaymiz).

Bo'lsin M koordinata chizig'idagi ixtiyoriy nuqtadir. Keling, fikrga mos ravishda qo'yaylik M haqiqiy raqam x, qiymatga teng OM segment: x=OM. Raqam x nuqtaning koordinatasi deb ataladi M.
Shunday qilib, koordinata chizig'ining har bir nuqtasi ma'lum bir haqiqiy songa - uning koordinatasiga mos keladi. Buning aksi ham to'g'ri, har bir haqiqiy son x koordinata chizig'idagi biron bir nuqtaga, ya'ni shunday nuqtaga to'g'ri keladi. M, uning koordinatasi x. Bu yozishmalar deyiladi o'zaro aniq.Shunday qilib, haqiqiy sonlar koordinata chizig'ining nuqtalari bilan ifodalanishi mumkin, ya'ni. koordinata chizig'i barcha haqiqiy sonlar to'plamining tasviri bo'lib xizmat qiladi. Shuning uchun barcha haqiqiy sonlar to'plami deyiladi raqamlar qatori, va har qanday raqam bu chiziqning nuqtasidir. Raqam chizig'idagi nuqta yaqinida ko'pincha raqam ko'rsatiladi - uning koordinatasi.Tekislikdagi to'rtburchaklar (yoki dekart) koordinatalar tizimi.
Ikki o'zaro perpendikulyar o'q x haqida va Y haqida umumiy boshlanishga ega O va bir xil masshtab birligi, shakl tekislikdagi to'rtburchaklar (yoki dekart) koordinatalar tizimi.
Eksa OH x o'qi, o'qi deb ataladi OY- y o'qi. Nuqta O o'qlarning kesishishi boshlang'ich deyiladi. O'qlar joylashgan tekislik OH va OY, koordinata tekisligi deyiladi va belgilanadi Oh xy.
Shunday qilib, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi tekislikning barcha nuqtalari to'plami va sonlar juftligi o'rtasida birma-bir moslikni o'rnatadi, bu esa geometrik muammolarni echishda algebraik usullarni qo'llash imkonini beradi. Koordinata o'qlari tekislikni 4 qismga ajratadi, ular deyiladi chorak, kvadrat yoki koordinata burchaklari.
3. ni hisoblang.
4. Matritsalarni ko’paytiring:
5. va to`g`ri chiziqlarning o`zaro vaziyatini aniqlang.
“Boshlang’ich ta’limda matematika va uni o’qitish metodikasi” kafedrasi yig’ilishida 12-oktabr
6-sonli bayonnoma bilan tasdiqlangan.
Kafedra mudiri X.R.Sanaqulov