1-mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar. Matritsalar algebrasi

1-MAVZU: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. Chiziqli tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar. Matritsalar algebrasi.


Aytaylik
(1)
noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin, bu yerda bo‘lib, lar noma’lumlarning koeffitsiyentlari, lar ozod xadlar. Har bir koeffitsiyentlar ikkita indeksli birinchi indeks shu koeffitsiyent nechinchi tenglamada ekanligi, ikkinchi indeks qaysi noma’lumni koeffitsiyenti ekanligini ko‘rsatadi.
Агар ozod hadlarning hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lsa, (1) sistema bir jinslimas, agar bo‘lsa, birjinsli deyiladi.
1-ta’rif. Agar (1) sistemaning har bir tenglamasi noma’lumning qiymatlarida ayniyatga aylansa, u holda elementlarning sistemasi (1) sistemaning yechimi deyiladi.
Aytaylik noma’lumli ta chiziqli tenglamalarning
(2)
sistema ham berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar (1) va (2) tenglamalar sistemasining birining har qanday yechimlari ikkinchisining ham yechimlaridan iborat bo‘lsa, u holda (1) va (2) sistemalar teng kuchli yoki ekvivalent deyiladi.
3-ta’rif. Agar chiziqli tenglamalar sistemasining aqalli bitta yechimi mavjud bo‘lsa, u holda sistemani birgalikda bo‘lgan, agarda birorta ham yechimi mavjud bo‘lmasa birgalikda bo‘lmagan sistema deyiladi. Agar sistema birgalikda bo‘lgan bo‘lib, faqat birgina yechimga ega bo‘lsa, uni aniq, bittadan ko‘p yechimlarga ega bo‘lsa aniqmas sistema deyiladi.
Tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirish deganda biz quyidagi almashtirishlarni tushunamiz:
a) tenglamalar sistemasining birorta tenglamasi har ikki tomonini noldani farqli songa ko‘paytirishni;
b) tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini har ikki tomonini noldan farqli songa ko‘paytirib, shu sistemasining boshqa bir tenglamasiga qo‘shishni;
v) tenglamalar sistemasidan barcha koeffitsiyentlari va ozod hadi nollardan iborat bo‘lgan tenglamalar mavjud bo’lsa, ularni sistemadan chiqarishni;
g) tenglamalar sistemasidagi ixtiyoriy ikkita tenglamasini o‘rinlarini o‘zaro almashtirishni.
1-teorema. Tenglamalar sistemasi ustida chekli marta elementlar almashtirish natijasida berilgan sistemaga teng kuchli sistema hosil bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik (1) chiziqli tenglamalar sistema berilgan bo‘lsin. masalan b) elementar almashtirishni (1) sistemaning birinchi tenglamasi uchun qo‘llaylik, ya’ni (1) sistema birinchi tenglamasini har ikki tomonini soniga ko‘paytiraylik, natijada
(3)
sistema hosil bo‘ladi.

1. 
   sistemani har bir yechimi (3) sistemani ham yechimi bo‘ladi, aksincha
   

aytaylik (3) sistemani yechimi bo‘lsin, ya’ni

Sistemani birinchi tenglamasini har ikki tomonini ga ko‘paytirib, qolganlarini o‘zgarishsiz qoldirsak, natijada lar (1) sistemani yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shuningdek a), v), g) elementar almashtirishlar uchun ham teoremani isbotlash mumkin.
2. Aytaylik.

nom’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistema ustida elementar almashtirish natijasida unga ekvivayelnt bo‘lgan maxsus ko‘rinishga ega bo‘lgan sistemaga keltiramiz. Birinchi tenglama sifatida (1) sistemani oldidagi koeffitsiyent noldan farqli bo‘lgan tenglamani olamiz. Umumiylikni chegaralamasdan, birinchi tenglama sifatida (1) sistemaning birinchi tenglamasini va deb olamiz. tenglamaning har ikki tomonini larga ko‘paytirib, (1) sistemani ikkinchi, uchinchi va hokazo. - tenglamalarni mos tomonlariga qo‘shib quyidagiga ega bo‘lamiz:
(4)
bunda
(4) tenglamaning ikkinchi tenglamasining har ikki tomonini larga ko‘paytirib, - tenglamalarining mos tomonini qo‘shsak,
(5)
бунда . Bu jarayonni - marta davom ettirib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:
(6)
bunda , lar noldan farqli sonlar, qolgan koeffitsiyentlar ixtiyoriy sonlar. Ozod hadlar lar ham ixtiyoriy sonlar. Hosil qilingan (6) sistema (1) sistemaga teng kuchli, chunki (6) sistema (1) chekli elementlar almashtirishlar natijasida hosil qilingan. Shuning uchun agar (4) sistema birgalikda bo‘lgan bo‘lsa, (1) sistema ham birgalikda bo‘lgan bo‘ladi.
(6) sistemani pog‘ona(zina) simon deyiladi. Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin.
1. bu holda (6) sistemaning so‘ngi tenglamasi o‘rinli bo‘lmaydi. Bu ziddiyat (6) sistemani o‘z navbatida (1) sistemani yechimga ega emasligi (birgalikda bo‘lmagan ekanligini) ko‘rsatadi.
2. bu holda (6) sistema birgalikda bo‘lgan bo‘ladi. (6) sistemaning noma’lumlarini noma’lumlari orqali ifodalaydi va ularni ozod noma’lumlar deyiladi. Natijada (6) sistema quyidagi sistemaga keladi
(7)
Bundagi va dan boshqa barcha qiymatlarni qabul qiladi. lar asosiy, larni ozod noma’lumlar deyiladi.
а) (bu nol faqat bo‘lganda o‘rinli) bu holda barcha noma’lumlar asosiy bo‘lib (7) dan ga ega bo‘lamiz, bu holda (7), (6) sistema o‘z navbatda (1) sistema yagona yechimga ega bo‘lib, (1) sistema aniq sistema bo‘ladi.
б) bu holda ozod noma’lumlar bo‘lib ularga ixtiyoriy qiymatlar berib asosiy noma’lumlarni qiymatini topamiz. Bu holda (6) sistema o‘z navbatida (1) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, (1) sistema aniqmas sistema bo‘ladi.