Xosmas integrallar. Reja: Chegaralari cheksiz bo‘lgan xosmas integrallar. Chekli oraliqda uzilishga EGA bo‘lgan funksiyalarning xosmas integrallari

4. 2. Uzlukli funksiya integrali.
Dastlab shu ko’rinishdagi integralga keltiriladigan misol bilan tanishaylik:
Misol. chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzasi S topilsin.


Bu funksiya x=b nuqtada aniqlanmagan. Bu soha cheksiz davom etuvchi soha bo’lgani uchun, bizga ma’lum bo’lgan usul bilan yuzasini topa olmaymiz. Agar sohani x=b- to’g’ri chiziq bilan kessak hosil bo’lgan egri chiziqli trapetsiya yuzasi: bo’lib,  da so’ralgan sohani yuzasi hosil bo’ladi, ya’ni

Bu hollarda aniq integral tushunchasini chegaralanmagan integral ostidagi funksiya tushunchasi bilan umumlashtirish mumkin (f(x) [a,b)ning nuqtalarida uzluksiz).
Ta’rif 2. Agar  da aniq integral chekli limitga intilsa, bu limitga uzlukli funksiyaning xosmas integrali deyiladi.
Bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar bu limit mavjud bo’lmasa yoki cheksiz bo’lsa, uzoqlashuvchi deyiladi.
Xuddi shuningdek, integral ostidagi funktsiya x=a nuqtada aniqlanmagan yoki x=a da uzilishga ega bo’lsa:

yoki x=s da s]a, b[ uzilishga ega bo’lsa:

formula yordamida tekshiriladi.
Agar o’ng tomondagi har bir integral mavjud va chekli bo’lsa, oxirgi ko’rinishdagi xosmas integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
Misol. integralga Nyuton-Leybnits formulasini bevosita qo’llasak J=-2 hosil bo’ladi. Aslida musbat funksiyaning integrali musbat son bo’lishi kerak edi.
Bu yerdagi ziddiyat uzoqlashuvchi bo’lgan xosmas integralga Nyuton-Leybnits formulasini qo’llashimiz natijasida kelib chiqdi. Haqiqatdan ham: f(x)=1/x² x=0 da cheksizlikka aylanadi. U holda


ya’ni xosmas integral uzoqlashuvchi.
X uddi shunga o’xshash ham yaqinlashuvchi ekan (7-rasm).
Xosmas integrallarning yaqinlashish belgilari.
Ba’zi hollarda xosmas integralning aniq qiymatini hisoblash shart bo’lmay, uning yaqinlashishini bilish kifoya bo’ladi. Bunday hollarda bu xosmas integrallarni yaqinlashishi (yoki uzoqlashishi) ma’lum bo’lgan xosmas integrallar bilan taqqoslash qulay bo’ladi.
Shu maqsadda quyidagi xosmas integrallarni taqqoslashga asoslangan teoremalarni keltiramiz.