Xosmas integrallar. Reja: Chegaralari cheksiz bo‘lgan xosmas integrallar. Chekli oraliqda uzilishga EGA bo‘lgan funksiyalarning xosmas integrallari

8

Xosmas integrallar.
Reja:
Chegaralari cheksiz bo‘lgan xosmas integrallar.
Chekli oraliqda uzilishga ega bo‘lgan funksiyalarning xosmas integrallari.
Bizga ma’lumki integralni ta’riflashda a) integrallash chegarasi [a, b] chekli va b) integral ostidagi funksiya f(x) chegaralangan deb faraz qilgan edik.
Shuning uchun ham biz hozircha shu ikkita shartdan birortasi bajarilmay qolgan holdagi funksiya integrali haqida biror narsa deya olmaymiz. Lekin quyida yuritiladigan ba’zi bir qo’shimcha ma’lumotlar yordamida bunday integrallar haqidagi tushunchamizni kengaytirishimiz mumkin.
Bunda yuqoridagi ikkita shartdan birortasi bajarilmasa, bunday integrallarni xosmas integrallar deb, agarda a) shart bajarilmasa chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar (1-tur xosmas integrallar), agarda b) shart bajarilmasa uzlukli funksiyaning integrali (2-tur xosmas integrallar) deyiladi.
Shulardan dastlab chegaralari cheksiz bo’lgan integrallarni qaraylik.
4.1. Chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar.
Dastlab shu ko’rinishdagi integrallarga keltiriladigan misollar bilan tanishaylik.


Misol 1. y=1/x, xa>0 chiziqlar bilan chegaralangan S sohaning yuzasini topaylik. Bizga ma’lum bulgan tushunchalar yordamida bu sohaning yuzasini topa olmaymiz. Lekin x=b to’g’ri chiziq bilan egri chiziqli trapetsiya hosil qilsak, bu egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi ga teng bo’ladi. U holda b so’ralgan sohaning yuzasi hosil bo’ladi, ya’ni

Demak, bu holda so’ralgan sohaning yuzasi haqida biror narsa ayta olmaymiz.
Misol 2. y=1/x², xa>0 chiziqlar bilan chegaralangan S sohaning yuzasini topaylik. 1-misoldagi kabi fikr yuritsak,

Demak, bu sohaning yuzasi 1/a ga teng ekan, ya’ni sohamiz ko’rinishi cheksiz davom etishiga qaramay chekli yuzaga ega ekan.
Bu misollardagi turli ko’rinishdagi natija 1/x² ni 1/x ga qaraganda x da tezroq nolga intilishi tufaylidir.
Bu misollarni umumlashtirib ax< sohada uzluksiz bo’lgan y=f(x) funksiyani ko’ramiz.
Ta’rif. Agar b ni cheksiz o’sishi natijasida integral aniq limitga intilsa, bu limitga yuqori chegarasi cheksiz bo’lgan f(x) funksiyaning xosmas integrali deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
Demak, .
Bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi yoki mavjud deyiladi. Agar limiti mavjud bo’lmasa yoki cheksiz bo’lsa, integral mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.
Masalan, 1-misolda xosmas integral uzoqlashuvchi, 2-misolda xosmas integral yaqinlashuvchi.
Xuddi shunga o’xshab boshqa chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar ham aniqlanadi:


O’ng tomonda turgan integrallarning har biri yaqinlashuvchi bo’lsa yaqinlashuvchi bo’ladi.