Xususiy holda parabolik tipdagi tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin

1.2. Masalani qo‘yilishi va uni yechish yo‘lini aniqlash
Agar o‘rganilayotgan jarayonda vaqt bo‘yicha jarayonning kechish tezligi o‘zgarmas bo‘lsa, bu jarayonlarning matematik modeli parabolik tipdagi tenglamalar orqali ifodalanadi. Bunday jarayonlarga quvurlardagi qovushqoq suyuqliklarning nostasionar harakati jarayonlari, g‘ovak to‘siqlarning issiqlik o‘tkazuvchanlik masalalari, diffuziya jarayonlari va boshqalar kiradi.
Xususiy holda parabolik tipdagi tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin:
(1.2.1)
- izlanuvchi funksiya,
t - vaqt,
x -chiziqli koordinata,
-o‘zgarmas koeffisiyent.
(1.2.1) ko‘rinishdagi parabolik tipdagi tenglamalar uchun odatda bitta boshlang‘ich va ikkita chegaraviy shart beriladi.
qaralayotgan sohada izlanayotgan yechim bo‘lsa, qo‘shimcha shartlar quyidagicha ifodalanadi.
Boshlang‘ich shartlar
Chegaraviy shartlar , (soddalik uchun eng sodda chegaraviy shart, Dirixle masalasi qabul qilindi)
Parabolik tipdagi tenglamalarni yechish uchun sonli usullar ichida eng keng tarqalgan usul-chekli ayirmalar usulidan foydalanamiz.
Aniqlanish sohasi G to‘r sohada va uning chegarasi G dan iborat bo‘lsin.
Unda quyidagicha tashkil etilgan to‘rni qaraymiz.


Sohada yotgan tugun nuqtalar uchun (1) tenglamani quyidagi
(1.2.2)
To‘r sohada to‘r funksiyasi deb ataluvchi funksiyalarni qaraymiz.
Ya’ni oddiy differensial tenglamalardagi kabi hususiy hosilalar ham chekli ayirmalar bilan almashtiriladi Bunda differensial tenglama berilgan boshlang‘ich va chegaraviy shartlarda chekli ayirmali masalaga keltiriladi.
(1.2.2) tenglamadagi , Xususiy xosilalar o‘rniga oshkor sxemalarga asoslangan almashtirishlarni qo‘yib, (1.2.2) tenglamani quyidagicha yozib olamiz.
(1.2.3)
(1.2.3) tenglamani ga nisbatan yechib, parabolik tenglamani oshkor sxemalarda yechish uchun ishlatiladigan ishchi formulani xosil qilamiz
(1.2.4)

(1.2.4) formuladan ko‘rinib turibdiki, vaqtning j+1-qatlamidagi yechimini topish uchun j -qatlamlardagi yechimlardan foydalaniladi.

Bu rekkurent formulaning ishlashi uchun dastlabki nolinchi va birinchi qatlamlardagi yechim qiymatlarini berish kerak. Bu yechimlarni boshlang‘ich shartlar orqali hosil qilinadi. Nolinchi qatlamda:
(1.2.5)
Integrallash sohasining chegaralari esa chegaraviy shartlar orqali aniqlanadi:
, , (1.2.6)
Shunday qilib, (1.2.3), (1.2.4), (1.2.5), (1.2.6) formulalarni birgalikda ishlatish orqali parabolik tipli tenglamani yechim qidirilayotgan sohadagi sonli-taqribiy yechimlarini hosil qilinadi.
Oshkormas sxemalar
Endi berilgan tenglamani oshkormas sxemali almashtirishlar yordamida yechamiz. Buning uchun, quyidagi almashtirishlar qo‘llanadi:

U holda (1.2.3) tenglama quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(1.2.7)
(1.2.7) tenglamadagi o‘xshash xadlarni ixchamlab, kerakli almashtirishlarni
bajariladi:


Belgilashlar kiritilsa, vaqt faktorining har bir j -qiymati uchun quyidagi uch diagonalli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(1.2.8)

Hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasi j ning har bir qiymatida n-1ta tenglama va n+1 ta noma’lumlardan iborat. Yetishmayotgan ikkita tenglamani chegaraviy shartlardan olamiz.

tengliklarni taqqoslasak
tenglamadan esa
Haydash usuli yordamida tenglamalar sistemasi yechilib, barcha noma’lumlar topiladi. Natijada parabolik tipdagi tenglamaning oshkormas sxemali almashtirishlar yordamida yechish imkoniyati xosil bo‘ladi.