Yensen tengsizligi aslida Koshi tengsizligi

a a a a a5
¹— + ²— + ³— + 4— + ⁵— > -
a₂ + a₃ a₃ + a₄ a₄ + a₅ a₅ + a₆ a₆ + a₇ 2
ko’rinishda yozib olamiz va Yensen tengsizligidan foydalanamiz.
Yensen tengsizligini f (x) = — funksiya uchun yozamiz:
x


Z A^-1
Ш1 xi + m 2 x 2 +... + mnxn
^ m + m₂ +...+m_{n ?}


mm m
—¹ + —+...+ —
x₁ x₂ x_n
m +m +...+ m


mf₊ m 2 _{+ +}^Т!Ьк> ⁽m1 ⁺ m 2 ⁺...⁺ mn ⁾²
x x x mx +m x +...+ m x


Oxirgi tengsizlikda n = 5, m_i = a_i, x_i = a_i+1 + a_i+2,i = 1,2,3,4,5 desak,


ushbu


aaaaa
¹ + ² + ³ + ⁴ + ⁵


a +a a +a a +a a +a a +a

2
(a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ )

a₁ (a₂ + a₃) + a₂ (a₃ + a₄) + a₃ (a₄ + a₅) + a₄ (a₅ + a₆) + a₅ (a₆ + a₇)

tengsizlik kelib chiqadi. Endi esa quyidagi tengsizlikni isbotlashga o’tamiz:(a1 + a2 + a3 + a4 + a₅)2 5

a1( a 2 + a3) + a 2( a 3 + a4) + a3( a 4 + a₅) + a4( a₅ + a6) + a₅( a6 + a7) 2’
2(a_x + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ )² >
> 5[a_x(a₂ + a₃) + a₂ (a₃ + a₄) + a₃ (a₄ + a₅) + a₄(a₅ + a₆) + a₅ (a₆+a₇)],
2(a j+a₂ +... + a₅) >
> a_xa₂ + aa + a_xa₄ + a_xa₅ + a₂a₃ + a₂a₄ + a₂a₅ + a₃a₄ + a₃a₅ + a₄a₅,
5(a² + a² + a² + a² + a²) > (a + a + a + a + a )²
a a a a a aa a a a,

f ⁽Plx1 + P2x2) > Plf ⁽x1) + P2f⁽x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
⁵ = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
p^p з4з 3
p^p зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x ² 3
x x x² x² x² 3

Isbot tugadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1. 
   Hasanov.A.B, Yaxshimurotov A.B “Koshi tengsizlikligi va uning tadbiqlari” Urganch-2003
   
2. 
   Mirzaahmedov M.A, Sotiboldiyev D.A “ O’quvchilarni matematik
   

olimpiadalarga tayyorlash” Toshkent-1993

3. 
   Azlarov T, Mansurov H “Matematik analiz” 1-qism Tosh:1994
   
4. 
   Nazarov X, Ostonov K “Matematika tarixi” Toshkent-1996
   
5. 
   Toxirov.A, Mo’minov.F “Matematika olimpiada masalalari” Tosh:1996