Yensen tengsizligi aslida Koshi tengsizligi

YENSEN TENGSIZLIGI
Aslida Koshi tengsizligi f (x) = ln x funksiya qavariqligining sodda natijasidir. Umumiy holda, ya’ni f (x) ixtiyoriy qavariq yoki botiq funksiya bo’lgan holda Koshi tangsizligiga o’xshash tengsizliklarni isbot qilish mumkin. Agar f (x) funksiya uchun
f ⁽Plx1 + P2x2) > Plf ⁽x1) + P2f⁽x2)
tengsizlik ixtiyoriy x, x₂ e (a, b), p_v > 0, p₂ > 0, p_v + p₂ = 1
sonlarda o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a,b) oraliqda qavariq deyiladi. Agar
f (x) funksiya uchun
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2)
tengsizlik ixtiyoriy x₁, x2 e (a, b), p₁ > 0, p2 > 0, p₁ + p2 = 1
sonlarda o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya (a, b) oraliqda botiq deyiladi.
Teorema: a) Agar f"(x) < 0, x e (a,b) bo’lsa ixtiyoriy x,x₂,...x_n e (a,b) va
P1 + P 2 +... + Pn = ¹
tenglikni qanoatlantiruvchi P > 0, P₂ > 0,..., P_n > 0 sonlari uchun ushbu

f ⁽Plx1 + P2x2) > Plf ⁽x1) + P2f⁽x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
⁵ = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
p^p з4з 3
p^p зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x ² 3
x x x² x² x² 3

tengsizlik bajarilishini ko’rsatamiz. Buning uchun
g⁽x) = f⁽x)^- f^(c)^- f'(^c)(x ^{- c})
funknsiyaning (a,b) oraliqda eng katta qiymatini topamiz.
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0
bo’lgani uchun g'(x) kamayuvchi. g'(c) = 0 ekanligidan g'(x) ning ishorasi
x = c nuqtadan o’tishda musbatdan manfiyga o’zgarishi kelib chiqadi. x = c nuqtadan boshqa nuqtada g'(x) nolga aylanmasligidan g (x)
funksiya x = c nuqtada o’zining eng katta qiymatini qabul qilishi kelib chiqadi. Demak, g(x) < g(c) bo’ladi, ya’ni (39) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
(39) tengsizlikda tenglik faqat x = c bo’lganda bajariladi. x,x₂,...x_n e (a,b) ixtiyoriy nuqtalar bo’lsin. Agar c = Px + P₂x₂ +... + p_nx_n bo’lsa, c e (a,b) bo’ladi. (39) tengsizlikka ko’ra
Pif(xi) + p2f(x2) +... + Pnf⁽xn) < pi^[f(c) + f'(c⁾⁽x - c^)] +
⁺ P2 ^{[ f (}c) ⁺ fXc⁾⁽x ^- c^{)] +}... ^+
+ Pn ^[f⁽c) ⁺ fXc⁾⁽x ^- c^)] =
= f⁽c) ⁺ fXc)⁽Pixi ⁺ P2x2 ⁺... ⁺ Pnxn ^- c) =
= f ⁽c) ⁺ fX c⁾⁽c ^- c) = f ⁽c) = f ⁽Pi xi ⁺ P 2 x2 ⁺... ⁺ Pnxn ) ^
^ f⁽Pixi + P2x2 +... + Pnxn) ^ Pif⁽xi) + P^{f (}x2) +... + Pnf⁽xn) bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
m_r > 0,m₂ > 0,...,m_n ^ 0, (m± + m₂ +... + m_n > 0) ixtiyoriy sonlar bo’lsin.
(37) va (38) tengsizliklarda
mm m
ⁱ , P 2 = 2 ,..., Pn = n
m_X + m₂ +... + m_n m_X + m₂ +... + m_n m_X + m₂ +... + m_n
deymiz. U holda (37) va (38) tengsizliklar mos ravishda quyidagi ko’rinish oladi:









mx + m₂x₂ +... + m_nx_n

m₁ + m₂ +... + m_n

mx +m x +...+ m x

m +m +...+ m

mif⁽xi ) + m2f ⁽x2 ) ⁺...⁺ mnf ⁽xn )
m_X + m₂ +...+m„

mif ⁽xi ) ⁺ m2f⁽x2 ) ⁺...⁺ mnf ⁽xn )
m +m +...+ m

(37), (38), (40) va (41) tengsizliklarga YENSEN tengsizliklari deyiladi.

( Iogan Lyudvig Yensen (1859-1925) daniyalik matematik).
YENSEN tengsizliklarida f (x) funksiyani turli xil qilib tanlash hisobiga ajoyib tengsizliklarni olish mumkin. Masalan,
1) f (x) = In x bo’lsa,

f ⁽Plx1 + P2x2) > Plf ⁽x1) + P2f⁽x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
⁵ = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
p^p з4з 3
p^p зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x ² 3
x x x² x² x² 3

n
boladi, bu yerda x_T > 0,x₂ > 0,...,x_n > 0.

2. 
   f (x) = 4x bo’lsa,
   

xi + x 2 +... + xn

n

bo’ladi, bu yerda x > 0,x > 0,...,x > 0.

2. 
   f (x) = x^p bo’lsa,
   

x^ + x^ +... + x_n xp + xp +... + xp

f ⁽Plx1 + P2x2) > Plf ⁽x1) + P2f⁽x2) 1
f(Pixi + P2x2) < Pif(xi) + P2f(x2) 1
g ’(x x) = f ’(x x) - f ’(х C), g "(x x) = f \ x) < 0 1
⁵ = д/p (Р - a)(P - b)(P - c) 3
p^p з4з 3
p^p зЛ 3
a + b + c +-+-+-> 4 p 3
abc 3
abc 3
x x ² 3
x x x² x² x² 3

nn
bo’ladi, bu yerda x1,x₂,...,x_n e [[0,^].

2. 
   f (x) = xe^x bo’lsa,
   

xi + x 2 +...+x—
(x1 + x ₂ +... + x_n) e ⁿ — x₁e^x1 + x ₂ e^{x 2} +... + x_ne^x'
bo’ladi, bu yerda x₁ > 0, x₂ > 0,..., x_n > 0.

2. 
   f (x) = x² bo’lsa,
   

^Лmlxi + m2x2 +... + mnxn ^ ^mixi² + m2x2 +... + mnxn
_y m1 + m 2 +... + mn ) m1 + m 2 +... + mn
(m_i x_i + m2x2 +... + mnxn)2 — (m_i x2 + m2x2 +... + mnxn )(m_i + m2 +... + mn)
bo’ladi. Bu tengsizlikda
2 2 2 a_i a₂ a_n
ml = 01 , m 2 = ^b2 mn = b„, xi = -^1, x 2 = -2,..., xn = -n-
b_i b₂ b_n
desak,
(a^b + ajb^ +... + ^a_nb_n) — (ai + a^ +... + a« )(b + bz +... + bn )
Koshi-Bunyokovskiy tengsizligi kelib chiqadi.

2. 
   
   bo’lsa,
   f (x) = x^p, p > 1, x > 0
   

^ppp p
mi xi⁺ m 2 x2⁺...⁺mnxn mixi x^{p +} m 2 x2⁺...⁺mnx;;
_k m_i + m 2 +... + mn ) m_i + m 2 +... + mn
(m_i x_i + m 2 x 2 +... + mnxn)^p — (m_i x^p + m 2 x2 +... + mnxn)(m_i + m 2 +... + mn)^p-i

p
q = ,
p_i

a_i
xi = ^q _i , x2 =
bo’ladi. Bu tengsizlikda
m_i =b_i^q,m₂ =b₂^q,...,m_n =b_n^q,


^an
bnq^-i
a
—2— x
_{q_i} ,...,x_n
b₂
desak,
p
(a_ib_i + a2 b2 +... + a_nb_n)^p — (a^p + a 2p +... + an)(b_iq + b2q +... + bq) q
ii
a_ib_i + a₂b₂ + ... + a_nb_n — (a_i^p + a₂^p + ... + a_n^p ) ^p (b_i^q + b₂^q + ... + b_n^q )^q Gyo’ lder tengsizligi kelib chiqadi.
MASALA YECHISH NAMUNALARI.
1-Misol. Perimetri 2p bo’lgan uchburchaklar orasida yuzasi eng katta bo’lgan uchburchakni topish so’ralsin.
Yechish: Buning uchun Geron formulasi va Koshi tengsizligidan foydalanamiz:




⁵ = д/p (Р - a)(P - b)(P - c)

^л (p - a) + (p - b) + (p - c) у

P ²
зТз^.

Demak, perimetri 2p bo’lgan ixtiyoriy uchburchakning yuzasi





p^p
з4з

dan oshmaydi.

p^p
зЛ

ga faqat p - a = p - b = p - c, ya’ni a = b = c

bo’lganda teng bo’ladi. Bu esa, bir xil perimetrli uchburchaklar orasida yuzasi eng katta bo’ladigan teng tomonli uchburchak bo’lishini bildiradi.
2-Misol. Ixtiyoriy uchburchak uchun ushbu
111
a + b + c +-+-+-> 4 p
abc
tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun berilgan tengsizlik chap tomonini guruhlab yozib olamiz va Koshi tengsizligini qo’llaymiz:

+¹1
a7
+¹1> 2. \a³ •¹ + 2_Л\b³ •¹ + 2. \c³ •¹ =
c) v a v b v c
= 2 a + 2b + 2 c = 4 p
Bu yerda tenglik faqat
a³ = —, b³ = —, c³ =— bo’lganda, ya’ni a = b = c = 1 bo’lganda
abc
bajariladi.
2з
3-Misol. y = x + x 4 1—^-, (x > 0) funksiyaning eng kichik qiymatini
x x ²
topamiz. Buning uchun berilgan funksiyani ushbu
_{2 6}1 1 1 1 1
y = x + x 4 1 1—у 4—у 4—у ko rinishida yozib olamiz va Koshi
x x x² x² x²
tengsizligini qo’ llaymiz:

11
— . —
xx


X. X. X = 7
222 .
xxx


Bu yerda tenglik kichik qiymati 7 ekan.


bo’lganda bajariladi. Demak, berilgan funksiyaning eng


4-Misol. Agar a_Y > 0,a₂ > 0,...,a₅ > 0 bo’lsa, ushbu


a a a a a5
¹— + ²— + ³— + 4— + 5— > - a₂ + a₃ a₃ + a₄ a₄ + a₅ a₅ + a₁ a₁ + a₂ 2


tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz. a₆ = a_x, a₇ = a₂ belgilash kiritib, berilgan


tengsizlikni ushbu