FUNKSIYANING MONOTONLIK XOSSASLARI VA ULAR
YORDAMIDA AYRIM AMALIY MASALARNI IFODALOVCHI
TENGSIZLIKLARNI YECHISH.
U.Y.Akbarov-f.-m.f.n.;
M.O.Umarova-magistrant, Qo’qon DPI
Bizga ma’lumki, funksiya tushunchasi va uning asosiy xossalari,
funksiyaning turlari va berilish usullari umumta’lim maktablari o’quvchilari
ongida yuqori sinfdan boshlab shakllantirilib boriladi. Dastlab funksiya
tushunchasi sodda ko’rinishda, kundalik hayotimizda uchrab turadigan misollar
orqali beriladi. Shundan so’ng darslarda turli misol va masalalar yechib funksiya
tushunchasi mustahkamlanadi.
Masalan: Poyezd Toshkentdan Samarqandga tomon 60km/soat tezlik bilan
harakat qilmoqda. U jo’nagandan t soat keyin Toshkentdan qancha masofada
bo’ladi?
Yechish. Agar izlanayotgan masofa S harfi bilan belgilansa, javobni bunday
formula bilan yozish mumkin:
S = 60t. (1)
Poyezdning harakati davomida s yo’l va t vaqt o’zgarib boradi.Shuning
uchun ular o’zgaruvchi kattalik (miqdor)lar yoki o’zgaruvchilar deyiladi. Bunda s
va t ixtiyoriy ravishda emas, balki (1) tekis harakat qonuniga bo’ysingan holda
o’zgarishi muhim ahamiyatga ega. Bu qonunga muvofiq, t vaqtning har bir
qiymatiga s yo’lning aniq bir qiymati mos keladi (mos qo’yiladi). Masalan, t=2
bo’lganda (1) formula bo’yicha quyidagini hosil qilamiz:
S = 120
Shunday qilib, (1) formula s yo’lni t vaqtning berilgan qiymati bo’yicha
hisoblash qoidasini belgilaydi.Bu masalada t musbat va poyezdning Toshkentdan
Samarqandgacha harakat vaqtidan katta bo’lishi mumkin emas.
Qaralgan misolda bir o’zgaruvchili miqdorning oldindan berilgan qiymati
bo’yicha ikkinchisining qiymatini topishga imkon beruvchi qoidalar ko’rsatildi.
Agar sonlarning biror to’plamidan olingan x ning har bir qiymatiga y son
mos keltirilgan bo’lsa, u holda shu to’plamda y(x) funksiya berilgan deyiladi.
Bunda x erkli o’zgaruvchi yoki argument, y esa erksiz o’zgaruvchi yoki funksiya
deyiladi.
Ta’rif. f (x) funksiya (a;b) oraliqda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy x
1
≤ x
2
tengsizlikni qanoatlantiradigan x
1
, x
2
(a,b) nuqtalar uchun f (x
1
) ≤ f (x
2
)
(f(x
1
) ≥ f(x
2
)) tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya (a,b) oraliqda o’suvchi
(kamayuvchi) funksiya funksiya deyiladi, (a,b) oraliq esa monotonlik oralig’i deb
yuritiladi.
Ta’rif. f(x) funksiya
(a;b) intervalda aniqlangan bo’lsin. Agar ixtiyoriy
x
1
< x
2
tengsizlikni qanoatlantiradigan x
1
, x
2
(a,b) nuqtalar uchun
f(x
1
)< f(x
2
)
(f(x
1
)>f(x
2
)) tengsizlik bajarilsa, u holda
f funksiya
(a,b) oraliqda
qat’iy
o’suvchi (kamayuvchi) funksiya deyiladi.
Teorema. f(x) funksiya
(a;b) oraliqda aniqlangan va differentsiallanuvchi
bo’lsin. f(x) funksiya (a;b) intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun shu
intervalda f’(x)≥0 (f’(x)≤0) tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
Agar (a;b) intervalda f’(x)>0 (f’(x)< 0) tengsizlik bajarilsa, u holda f(x)
funksiya (a;b) intervalda qat’iy o’suvchi (kamayuvchi) bo’ladi.
Quyida biz funksiyaning monotonlik xossalari yordamida ayrim amaliy
masalalarni ko’ramiz.
1-masala.
tenglamani yeching.
Yechish. y =
funksiya x ≥ o da aniqlangan. Shuning uchun berilgan
tenglama faqat nomanfiy ildizlarga ega bo’lishi mumkin.Bunday ildizlardan biri:
x=
Tenglamaning boshqa ildizlari yo’q, chunki y =
funksiya x ≥ 0 bo’lganda o’sadi va shuning uchun,agar x > 81 bo’lsa, u holda
, agar x < 81 bo’lsa,
bo’ladi. (1-rasm).
(1-rasm)
2-masala. Tengsizlikni yeching:
Yechish.
funksiya grafigini chizamiz. Bu parabolaning
tarmoqlari yuqoriga yo’nalgan.
tenglama bitta
ildizga ega,
shuning uchun parabola Ox o’qiga
nuqtada urinadi. Bu funksiyaning grafigi
2-rasmda tasvirlangan. Berilgan tengsizlikni yechish uchun x ning qanday
qiymatlarda funksiyaning qiymatlari musbat bo’lishini aniqlash kerak. Shunday
qilib,
tengsizlikni x ning parabolaning nuqtalari Ox o’qidan
yuqorida yotuvchi qiymatlari qanoatlantiradi. 2-rasmdan ko’rinib turibdiki,bunday
qiymatlar x = -0.5 dan boshqa barcha haqiqiy sonlar bo’ladi. J: x -0,5.