Yordamida ayrim amaliy masalarni ifodalovchi tengsizliklarni yechish. U. Y. A

3-masala. 

 va  

.

 sonlarni taqqoslang. 

Yechilishi. f : [e; +∞)→R,  f(x)=

 funksiyani qaraymiz. Uning hosilasi 

barcha x, x  (e; +∞) larda f’(x)=

 manfiy qiymat qabul qiladi va f 

funksiya [e; +∞) da uzluksiz, shunday qilib, f [e; +∞) da qat’iy kamayadi. Bu 

yerdan e<   ekanligini hisobga olib 

 

 

 

f (e) > f ( )

⇒

 

ni  olamiz. Demak, 

 > 

. 

4-masala.  x

n

=1+  + … +

, n=1, 2, sonli ketma-ketlikni chegaralanganlikka 

tekshiring. 

---

Yechilishi. Dastlab 

 

 

 

 

ln(1+x) ≤ x   (x ≥ 0)                                            (1) 

tengsizlikni isbotlaymiz.Buning uchun f:[0; +∞)→R;  f(x)=x-ln(1+x) funksiyani 

qaraymiz. f funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz va barcha x,x (0; +∞) lar uchun 

f’(x)=

 tenglik o’rinli, bu yerdan f’(x)>0, x,x (0; +∞) ekanligi kelib chiqadi. 

Shunday qilib f funksiya D(f)  aniqlanish sohasida qa’tiy o’sadi va demak,  

f(x)≥f(0). (x≥0) dan (1) tengsizlikning to’g’riligi kelib chiqadi. 

(1) tengsizlikdan x =  deb olib (n=1,2,…), 

  

 

                          ln(1+ ) ≤

 (n=1,2,…)                                      (2) 

ni hosil qilamiz. 

(2) tengsizlikdan 

ln2-ln1 ≤ 1, ln3-ln2 ≤ ,… ln(n+1)-lnn ≤                                   (3) 

kelib chiqadi. (3) tengsizliklarni hadma-had qo’shib, 

                                               ln(n+1) ≤ 1+…+  

tengsizlikni olamiz. 

Demak, x

n

=1+   …  , n=1,2, … sonli ketma-ketlik chegaralanmagan. 

Tengsizliklarni    funksiyaning  monotonlik  xossalaridan  foydalanib  isbotlash  

bugungi  kunda  katta  ahamiyatga  ega.  Yechilgan  amaliy  masalalar  hayotimizning 

turli sohalarida, fan va tehnikaning rivojida keng qo’llanilmoqda. 

Adabiyotlar. 

1.  Mirzaahmedov M., Rahimqoriyev A. Matematika 7-sinf. Toshkent. 2007 

yil.  

2.  Alimov  Sh.,  Xolmuhammedov  O.,  Mirzaahmedov  M.,  Algebra    8-sinf. 

Toshkent. 2010-yil. 

 

3.  Ismoilov  Sh.,Qo’chqorov  A.,Abdurahmonov  B.,  Tengsizliklar-2. 

Isbotlashning zamonaviy usullari. Toshkent,2008 yil, 53 bet. 

 

 

 

---