5-maruza: Muavr -laplasning local va integral limit teoremalari. Puasson teoremasi

5-maruza: Muavr –Laplasning local va integral limit teoremalari. Puasson teoremasi.

1. 
   Puasson formulasi.
   
2. 
   Muavr –Laplasning lokal teoremasi.
   
3. 
   Muavr –Laplasning integral teoremasi
   

1.14 Limit teoremalar

Agar n va m lar katta sonlar bo‘lsa, u holda Bernulli formulasidan foydalanib, ehtimollikni hisoblash qiyinchilik tug‘diradi. Xuddi shunday, p(q) ehtimollik juda kichik qiymatlar qabul qilsa ham qiyinchiliklarga duch kelamiz. Shu sababli, da uchun asimptotik(taqribiy) formulalar topish muammosini tug‘diradi.

Puasson formulasi

• 
  Agar da A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p har bir tajribada cheksiz kamaysa(ya’ni ), u holda
  

, m=0,1,2,… . (1.14.1)

(1.14.1) formula Puassonning asimptotik formulasi deyiladi.

belgilash kiritib, Bernulli formulasidan



ekanligini e’tiborga olib, (1.14.2) tenglikdan limitga o‘tamiz:
.

Demak, yetarlicha katta n larda (kichik p da)

(1.14.3)

(1.14.3) formula Puasson formulasi deyiladi. Odatda Puasson formulasidan bo‘lgan hollarda foydalaniladi.

1.14-misol. Telefon stansiyasi 2000 ta abonentga xizmat ko‘rsatadi. Agar har bir abonent uchun unig bir soatning ichida qo‘ng‘iroq qilishi ehtimolligi 0.003 bo‘lsa, bir soatning ichida 5 ta abonent qo‘ngiroq qilishi ehtimolligini toping.
n=2000, p=0.003, m=5, a=np=20000.003=6<10. Demak, Puasson formulasiga ko‘ra .

Muavr-Laplasning lokal teoremasi

Agar p ( )ehtimollik nol atrofidagi son bo‘lmasa va n etarlicha katta bo‘lsa, u holda ehtimollikni hisoblash uchun Muavr-Laplas teoremasidan foydalanish mumkin.

Teorema(Muavr-Laplas) Agar n ta bog‘liqsiz tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi bo‘lsa, u holda yetarlicha katta n larda
, (1.14.4)
-taqribiy formula o‘rinli. Bu yerda funksiya Gauss funksiyasi deyiladi(9-rasm).


9-rasm.

funksiya uchun x argument qiymatlariga mos qiymatlari jadvali tuzilgan(1-ilova). Jadvaldan foydalanayotganda quyidagilarni e’tiborga olish kerak:
1) funksiya juft funksiya, ya’ni .
2) agar bo‘lsa, deb olish mumkin.

1.15-misol. Bitta o‘q otilganda o‘qning nishonga tegish ehtimolligi 0.7 ga teng. 200 ta o‘q otilganda nishonga 160 ta o‘q tegishi ehtimolligini toping.
Bu yerda n=200, p=0.7, q=1-p=0.3, m=160. (1.14.4) ga ko‘ra , . Agar ekanligini hisobga olsak, u holda .

Muavr-Laplasning integral teoremasi

Agar n yetarlicha katta va A hodisa n ta tajribada kamida m₁ va ko‘pi bilan m₂ marta ro‘y berish ehtimolligi ni topish talab etilsa, u holda Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanish mumkin.

Teorema(Muavr-Laplas) Agar A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi( ) o‘zgarmas bo‘lsa, u holda

, (1.14.5)

taqribiy formula o‘rinli, bu yerda .

(1.14.5) formuladan foydalanilganda hisoblashlarni soddalashtirish uchun maxsus funksiya kiritiladi:
. (1.14.6)

(1.14.6)-Laplas funksiyasi deyiladi.

10-rasm.

funksiya toq funksiya: .
Agar bo‘lsa, u holda deb hisoblash mumkin; funksiya grafigi 10-rasmda keltirilgan.
(1.14.5) dagi tenglikning o‘ng qismini funksiya orqali ifodalaymiz:


-Laplasning funksiyasi bilan bir qatorda Gauss funksiyasi deb nomlanuvchi funksidan ham foydalaniladi:

. (1.14.8)

Bu funksiya uchun tenglik o‘rinli va u funksiya bilan

(1.14.9)
formula orqali bog‘langan.
1.16-misol. Sex ishlab chiqargan mahsulotining o‘rtacha 96% i sifatli. Bazada mahsulotni qabul qilib oluvchi sexning 200 ta mahsulotini tavakkaliga tekshiradi. Agar tekshirilgan mahsulotlardan sifatsizlari soni 10 tadan ko‘p bo‘lsa butun mahsulotlar partiyasi sifatsiz deb, sexga qaytariladi. Mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligini toping.
Bu yerda n=200, p=0.04(mahsulotning sifatsiz bo‘lish ehtimolligi), q=0.96, m₁=0, m₂=10 va mahsulotlar partiyasining qabul qilinishi ehtimolligi ni (1.14.7) formula orqali hisoblaymiz:
,

.
Agar funksiyadan foydalansak,
.
Laplas funksiyasi yordamida n ta bog‘liqsiz tajribada nisbiy chastotaning ehtimollikdan chetlashishi ehtimolligini hisoblash mumkin.

• 
  Biror son uchun
  

(1.14.10)

tenglik o‘rinli.

Haqiqatan ham, buni isbotlash uchun tengsizlik ehtimolligini hisoblash kerak. Buning uchun bu tengsizlikni unga teng kuchli yoki tengsizliklar bilan almashtiramiz. Bu tengsizliklarni musbat songa ko‘paytiramiz:
.
Agar belgilashni kiritsak, u holda (1.14.5) formulaga asosan:
■
1.17-misol. Detalning nostandart bo‘lishi ehtimolligi 0.6 ga teng. n=1200 ta detal ichida nostandart detallar bo‘lishi nisbiy chastotasining p=0.6 ehtimollikdan chetlashishi absolut qiymati 0.05 dan katta bo‘lmasligi ehtimolligini toping.
(1.4.10) ga asosan,
.