9-Mavzu: Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi
Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin:
u1, u2 ,..., un ,....
Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan
u1 u2 ... un ... uk
k 1
ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb,
chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda
qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan sonli cheksiz qator tushunchasida qatorning
u1, u2 ,..., un ,... hadlari sonlar emas, balki qandaydir x o‘zgaruvchiga bog‘liq chekli
qiymatlar qabul qiluvchi u1 (x),u2 (x),...,un (x),... funksiyalardan iborat bo‘lsa, u holda
bu funksiyalarning cheksiz yig‘indisini ifodalovchi
u1(x) u2(x) ... un(x) ... uk(x)
k 1
funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz.
Amaliy masalalarni hal qilishda funksional qatorlar sinfiga tegishli bo‘lgan darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator
a a x a x2 ... a xn ... a xk
0 1 2
n k
k 1
ko‘rinishga ega bo‘lgan funksional qatordan iboratdir, bu yerda a0 , a1, a2 ,..., an,...
berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, x esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi.
Tushunarliki, o‘zgaruvchisi nolga teng bo‘lgan har qanday darajali qator yaqinlashuvchidir. Odatda darajali qator o‘zgaruvchining ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, boshqalarida esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo, shunday darajali qatorlar borki, ular o‘zgaruvchi qanday qiymatga ega bo‘lishidan qat’iy nazar yaqinlashuvchi yoki o‘zgaruvchining noldan boshqa barcha qiymatlarida uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Kombinatorikada qator tushunchasi kombinatorik ob’yektlar tufayli vujudga kelgan ketma-ketliklar bilan ishlash uchun kerakli qurol sifatida qo‘llaniladi. Masalan, agar bo‘laklash masalasi qaralayotgan bo‘lsa, bunday sonlar ketma- ketligining elementlari qilib n natural sonni qo‘shiluvchilar yig‘indisi sifatida
ketma-ketligiga haqiqiy yoki kompleks o‘zgaruvchili qandaydir funksiya mos qo‘yilishi mumkin bo‘lsa, u holda ketma-ketliklar ustida bajariladigan ba’zi amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi.
Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi
k f (x) akx
k 0
funksiya a0 , a1, a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi.
Bu yerda
f (x)
funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi
uchun x o‘zgaruvchining haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo‘lishi muhim ahamiyatga ega emas.
Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar
k f (x) akx
k 0
darajali qator
f (k)(0)
x 0
nuqtaning qandaydir atrofida yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda