Bu aksioma bilan 30- teoremani nazarda tutsak, quyidagi teorema kelib chiqadi



Yüklə 17,24 Kb.
tarix30.12.2021
ölçüsü17,24 Kb.
#49112
§


  1. §. Parallel aksiomasi

Yuqorida absolyut geometriyaning teoremalaridagi 30-teoremaga etibor qilsal, unda to`g`ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan berilgan to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida bitta to`g`ri chiziqning o`tishi takidlanib, biroq shunday to`g`ri chiziqning yagonaligi yo`ki yagona emasligi to`g`risida qo`shimcha talabning qo`yilshiga qarab Evklid geometriyasi yo`ki Lobachevskiy geometriyasi to`g`risidagi talimotni hosil qilamiz. I-IV gruppa aksiomalariga suyangan geometriya bu ikki geometriyaning umumiy qismidir. Evklid geometriyasida parallellik aksiomasi quyidagicha ifodalanadi.

V. To`g`ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan o`tib, berilgan chiziq bilan kesishmayigan to`g`ri chiziq bittadan ortiq emas.

Bu aksioma bilan 30- teoremani nazarda tutsak, quyidagi teorema kelib chiqadi.


  1. teorema. To`g`ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan bu to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan faqat bitta to`g`ri chiziq o`tadi.

Endi I-V gruppa aksiomalariga asoslanib, Ebklid geometriyasini (yani maktabda o`qitiladigan geometriyani) bayon qilish mumkin.

  1. teorema. Uchburchak ichki burchaklarning yig`indisi 180 ga teng (31-teorema bilan taqqoslang).

  2. teorema. Uchburchakning tashqi burchagi o`ziga qo`shni bo`lmagan ichki burchaklarning yig`indisiga teng (24-teorema bilan taqqoslang).

  3. teorema. Bir tog`ri chiziqda yo`tmagan uchta nuqtadan faqat bitta aylana o`tadi.

  4. teorema. Aylanaga ichki chizilgan muntazam oltiburchak tomoni shu aylana radiusiga teng.

III-BOB. LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASI ELEMENTLARI


Bu bobda biz Lobachevskiy geometriyasining batafsil bayoniga to`xtalmasdan, bazi acosiy faktlari bilan tanishamiz. Bu faktlarni o`rganishda geometriyani aksiomatik ravishda bayon etishdagi qabul qilingan asosiy qoidamni nazarda tutishimiz kerak.

13-§. Lobacheskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan dastlabki xulosalar

Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absalyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobachevskiy geometriyasini qo`shish bilan xosil barcha tarif va teoremalari o`z kuchini saqlaydi.

V. Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to`g`ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to`g`ri chiziq o`tadi.

Shuni takidlab o`tamizki, to`gri chiziqda yo`tmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to`gri chiziq o`tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir (I bob, 30-teorema), bu to`g`ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi.


  1. teorema. Lobachvskiy tekisligida to`g`ri chiziqda yo`tmaydigan nuqtada bu to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko`p chiziq o`tadi.

Isbot. Lobachevskiy aksiomasiga asosan A nuqtadan a to`g`ri chiziq

bilan (14-chizma) kesishmaydigan b va c to`g`ri chiziqlari o`tsin.

c to`g`ri chiziqda shunday C nuqta olamizki, bu nuqta va a to`g`ri chiziq b to`g`ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo`lsin. a to`g`ri chiziqda ixtiyoriy D nuqtani olib, CD to`g`ri chiziqni o`tkazsak, bu to`g`ri chiziq b bilan biror B nuqtada kesishadi, B nuqta C bilan D orasida yo`tadi. BC kesmaning ixtiyoriy E nuqtasini olib, AE to`g`ri chiziqni o`tkazsak, bu to`g`ri chiziq a bilan kesishmaydi. Haqiqattan ham< AE bilan a to`g`ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, DEF uchburchak va b to`g`ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo`llasak, a bilan b kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid.

Demak, BC kesma nuqtalari chek-

Siz ko`p bo`lgani uchun AE ga o`xshash

Cheksiz ko`p to`g`ri chiziqlar A nuqtadan

o`tib, a bilan kesishmaydi.

Beshinchi postulatning barcha

Ekvivalentlari ham Lobachevskiy

Geometriyasida o`z kuchini yo`qotadi,

Shumladan, uchburchak ichki burchak
larning yig`indisi endi 180 ga

teng emas. Lekin 11-§ dagi 31-

teoremani nazarda tutsak, manti-

qan quyidagi natija kelib chiqadi. 2-teorema. Lobachevskiy tekis-

ligida uchburchak ichki burchlari-

Ning yig`nfisi 180 dan kichik.

3-teorema. Agar uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi 180 dan kichik bo`lsa, Lobachevskiy aksiomasi o`rinli bo`ladi.

ISBOT, AB kesmaning uchlaridan shu kesmaga perpendikular bo`lgan a, b to`g`ri chiziqlarni o`tkazamiz. Absolyut geometriyadan malumki, a, b to`g`ri chiziqlar kesishmaydi (15-chizma). B nuqtadan o`tib, b dan farqli a bilan kesishmaydigan yana bitta to`g`ri chiziqning mavjudligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo`lamiz. a to`g`ri chiziqda ixtiyoriy D nuqtani olib, BD nurni o`tkazsak ∠ABC= burchak hosil qilinadi, so`graa shu burchakni B nuqtadan boshlab, bir tomoni BD nurdan iborat qilib qo`yamiz (ABD burchakdan tashqariga), bu burchakning ikkinchi tomoni BC nur bo`lsin. Shartga ko`ra, ABD uchburchak ichki burchaklarning yig`indisi 180 dan kichik bo`lgani uchun, yani 90 + +∠ABD 180 yoki , bundan ∠ABC . Bu vaqtda BC to`g`ri chiziq a bilan kesishmaydi. Aksincha BC to`g`ri chiziq bilan a biror E nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, DBE uchburchak hosil bo`lib, = DBE= bo`lgani uchun, bu shart 11-§ dagi 24-teoremaga zidlik qiladi. Demak, BC bilan a kesishmaydi. Ushbu hulosaga keldik: Lobachevskiy aksiomasi “uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi 180 dan kichik” degan farazga ekvivalent.

ABC uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi bilan belgilasak 180 - ayirma musbatdir, uni ABC uchburchakning nuqsoni (defekti) deb ataladi va bilan belgilanadi.

4-teorema. Uchburchakning nuqsoni additivlik hossasiga bo`ysunadi, yani (16-chizma) = + .

ISBOT. =180 - =180 -( + -180 )= ( - )+(180 - )= + .



5-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi turli uchburchaklar uchun turlicha qiymatga ega, yani o`zgaruvchi miqdordir.

ISBOT. Faraz qilaylik, barcha

uchburchaklar ichki burchaklarining

yig`indisi o`zgarmas bo`lsin. (Rav-


shanki, .) ABC uchburchak-

ning (16-chizma) B uchidan o`tuvchi,

AC tomonini D nuqtada kesuvchi

BD nur o`tkazsak, farazga asosan,

= = bo`lib,

+ = +180 . Demak, + = +180 yoki =180 .

Bu esa yuqoridagi teoremaga zid.

Har qanday to`rtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin bo`lgani uchun quyidagi ikkita natijani chiqaramiz.

  1. Lobachevskiy tekisligida har qanday to`rtburchak ichki burchaklarining yig`indisi 360 dan kichik bo`lib, bu son har xil to`rtburchaklar uchun har xildir.

  2. Lobachevskiy tekisligida burchak kattaliklari bilan chiziqli kattaliklar orasida bog`lanish mavjud ( buni keyinroq ko`ramiz).

Yüklə 17,24 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə