Bu aksioma bilan 30- teoremani nazarda tutsak, quyidagi teorema kelib chiqadi
Yüklə 17,24 Kb.
|
|
§. Parallel aksiomasi Yuqorida absolyut geometriyaning teoremalaridagi 30-teoremaga etibor qilsal, unda to`g`ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan berilgan to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida bitta to`g`ri chiziqning o`tishi takidlanib, biroq shunday to`g`ri chiziqning yagonaligi yo`ki yagona emasligi to`g`risida qo`shimcha talabning qo`yilshiga qarab Evklid geometriyasi yo`ki Lobachevskiy geometriyasi to`g`risidagi talimotni hosil qilamiz. I-IV gruppa aksiomalariga suyangan geometriya bu ikki geometriyaning umumiy qismidir. Evklid geometriyasida parallellik aksiomasi quyidagicha ifodalanadi. V. To`g`ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan o`tib, berilgan chiziq bilan kesishmayigan to`g`ri chiziq bittadan ortiq emas. Bu aksioma bilan 30- teoremani nazarda tutsak, quyidagi teorema kelib chiqadi.
teorema. To`g`ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan bu to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan faqat bitta to`g`ri chiziq o`tadi. Endi I-V gruppa aksiomalariga asoslanib, Ebklid geometriyasini (yani maktabda o`qitiladigan geometriyani) bayon qilish mumkin. teorema. Uchburchak ichki burchaklarning yig`indisi 180 ga teng (31-teorema bilan taqqoslang). teorema. Uchburchakning tashqi burchagi o`ziga qo`shni bo`lmagan ichki burchaklarning yig`indisiga teng (24-teorema bilan taqqoslang). teorema. Bir tog`ri chiziqda yo`tmagan uchta nuqtadan faqat bitta aylana o`tadi. teorema. Aylanaga ichki chizilgan muntazam oltiburchak tomoni shu aylana radiusiga teng. III-BOB. LOBACHEVSKIY GEOMETRIYASI ELEMENTLARI Bu bobda biz Lobachevskiy geometriyasining batafsil bayoniga to`xtalmasdan, bazi acosiy faktlari bilan tanishamiz. Bu faktlarni o`rganishda geometriyani aksiomatik ravishda bayon etishdagi qabul qilingan asosiy qoidamni nazarda tutishimiz kerak. 13-§. Lobacheskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan dastlabki xulosalar Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absalyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobachevskiy geometriyasini qo`shish bilan xosil barcha tarif va teoremalari o`z kuchini saqlaydi. V. Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to`g`ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to`g`ri chiziq o`tadi. Shuni takidlab o`tamizki, to`gri chiziqda yo`tmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to`gri chiziq o`tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir (I bob, 30-teorema), bu to`g`ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi.
teorema. Lobachvskiy tekisligida to`g`ri chiziqda yo`tmaydigan nuqtada bu to`g`ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko`p chiziq o`tadi. Isbot. Lobachevskiy aksiomasiga asosan A nuqtadan a to`g`ri chiziq bilan (14-chizma) kesishmaydigan b va c to`g`ri chiziqlari o`tsin. c to`g`ri chiziqda shunday C nuqta olamizki, bu nuqta va a to`g`ri chiziq b to`g`ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo`lsin. a to`g`ri chiziqda ixtiyoriy D nuqtani olib, CD to`g`ri chiziqni o`tkazsak, bu to`g`ri chiziq b bilan biror B nuqtada kesishadi, B nuqta C bilan D orasida yo`tadi. BC kesmaning ixtiyoriy E nuqtasini olib, AE to`g`ri chiziqni o`tkazsak, bu to`g`ri chiziq a bilan kesishmaydi. Haqiqattan ham< AE bilan a to`g`ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, DEF uchburchak va b to`g`ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo`llasak, a bilan b kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid. Demak, BC kesma nuqtalari chek- Siz ko`p bo`lgani uchun AE ga o`xshash Cheksiz ko`p to`g`ri chiziqlar A nuqtadan o`tib, a bilan kesishmaydi. Beshinchi postulatning barcha Ekvivalentlari ham Lobachevskiy Geometriyasida o`z kuchini yo`qotadi, Shumladan, uchburchak ichki burchak
teng emas. Lekin 11-§ dagi 31- teoremani nazarda tutsak, manti- qan quyidagi natija kelib chiqadi. 2-teorema. Lobachevskiy tekis- ligida uchburchak ichki burchlari- Ning yig`nfisi 180 dan kichik. 3-teorema. Agar uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi 180 dan kichik bo`lsa, Lobachevskiy aksiomasi o`rinli bo`ladi. ISBOT, AB kesmaning uchlaridan shu kesmaga perpendikular bo`lgan a, b to`g`ri chiziqlarni o`tkazamiz. Absolyut geometriyadan malumki, a, b to`g`ri chiziqlar kesishmaydi (15-chizma). B nuqtadan o`tib, b dan farqli a bilan kesishmaydigan yana bitta to`g`ri chiziqning mavjudligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo`lamiz. a to`g`ri chiziqda ixtiyoriy D nuqtani olib, BD nurni o`tkazsak ∠ABC= burchak hosil qilinadi, so`graa shu burchakni B nuqtadan boshlab, bir tomoni BD nurdan iborat qilib qo`yamiz (ABD burchakdan tashqariga), bu burchakning ikkinchi tomoni BC nur bo`lsin. Shartga ko`ra, ABD uchburchak ichki burchaklarning yig`indisi 180 dan kichik bo`lgani uchun, yani 90 + +∠ABD 180 yoki , bundan ∠ABC . Bu vaqtda BC to`g`ri chiziq a bilan kesishmaydi. Aksincha BC to`g`ri chiziq bilan a biror E nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, DBE uchburchak hosil bo`lib, = DBE= bo`lgani uchun, bu shart 11-§ dagi 24-teoremaga zidlik qiladi. Demak, BC bilan a kesishmaydi. Ushbu hulosaga keldik: Lobachevskiy aksiomasi “uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi 180 dan kichik” degan farazga ekvivalent. ABC uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi bilan belgilasak 180 - ayirma musbatdir, uni ABC uchburchakning nuqsoni (defekti) deb ataladi va bilan belgilanadi.
ISBOT. =180 - =180 -( + -180 )= ( - )+(180 - )= + . 5-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig`indisi turli uchburchaklar uchun turlicha qiymatga ega, yani o`zgaruvchi miqdordir. ISBOT. Faraz qilaylik, barcha uchburchaklar ichki burchaklarining yig`indisi o`zgarmas bo`lsin. (Rav- shanki, .) ABC uchburchak- ning (16-chizma) B uchidan o`tuvchi, AC tomonini D nuqtada kesuvchi BD nur o`tkazsak, farazga asosan, = = bo`lib, + = +180 . Demak, + = +180 yoki =180 . Bu esa yuqoridagi teoremaga zid. Har qanday to`rtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin bo`lgani uchun quyidagi ikkita natijani chiqaramiz. Lobachevskiy tekisligida har qanday to`rtburchak ichki burchaklarining yig`indisi 360 dan kichik bo`lib, bu son har xil to`rtburchaklar uchun har xildir. Lobachevskiy tekisligida burchak kattaliklari bilan chiziqli kattaliklar orasida bog`lanish mavjud ( buni keyinroq ko`ramiz). Yüklə 17,24 Kb. Dostları ilə paylaş:
|