Sonli tengsizliklar va ularning xossalari. Ta’rif: Agar ayirma musbat son bo‘lsa

Sonli tengsizliklar va ularning xossalari.
Ta’rif: Agar ayirma musbat son bo‘lsa, a soni b sonidan katta deyiladi va bu munosabat shaklida yoziladi. Agar ayirma manfiy bo‘lsa, a soni b sonidan kichik deyiladi va shaklida yoziladi.
Istalgan a va b sonlar uchun quyidagi uchta munosabatdan faqat bittasi o‘rinli: 1. ;
2. ;
3. .
Sonli tengsizliklar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar va va bo‘lsa bo‘ladi (tengsizlik munosabatini tranzitivlik xossasi).
   
2. 
   Agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
   

3. Agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
4. Agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
5. Agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
6. Agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
7. Agar va bo‘lsa, bo‘ladi ( n  toq son bo‘lganda shart ortiqcha).
2 2.Tengsizliklarni isbotlashning usullari haqida.
1–misol. Istalgan a b, va c sonlari uchun 2 2 2 2 2 ( ) a b c a b c     ekanligini isbotlang. Yechilishi. Istalgan a b, va c sonlari uchun   2 2 2 2 2 ( ) a b c a b c     ayirmani manfiy emasligini ko‘rsatamiz:           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 . a b c a b c a ab b a ac c a b a c                Istalgan sonning kvadrati nomanfiy son bo‘lgani uchun   2 a b   0 va   2 a c   0 . Demak,   2 2 2 2 2 ( ) a b c a b c     istalgan a b, va c sonlari uchun manfiy emas. Shuning uchun berilgan tengsizlik istalgan a b, va c sonlari uchun o‘rinli. Jumladan, tenglik belgisi abc   bo‘lgandagina bajariladi. ∆ Tengsizlikning to‘g‘riligini ko‘rsatish uchun uning har ikkala qismining ayirmasini musbat yoki manfiyligini aniqlash, ya’ni yuqoradagi misoldagidek bevosita ta’rifdan foydalanib isbotlashga harakat qilish ayrim hollarda qiyinchiliklarni tug‘diradi. Shuning uchun tengsizliklarni isbotlashda tengsizliklarning xossalaridan foydalanish tavsiya etiladi. 2-misol. Musbat a b, va c sonlari uchun 6 b c c a a b a b c       tengsizlikni isbotlang. Yechilishi: Tengsizlikning chap qismida shakl almashtirish bajarib, uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz: 6 a b a c b c b a c a c b                         . (1) 3 Ikkita musbat son uchun o‘rta arifmetik va o‘rta geometrik qiymatlar orasidagi Koshi tengsizligidan foydalanamiz: 2 2, a b a b b a b a     2, a c c a   2 b c c b   . Bu tengsizliklarni hadma-had qo‘shib, (1) tengsizlikni hosil qilamiz. 2. O‘rtacha qiymatlar va ular orasidagi munosabatlar 1. O‘rtacha qiymatlar. a ={a1, a2 ,…, an} musbat sonlar ketma-ketligi uchun o‘rta arifmetik qiymat A(a)=An= n a  a   an ... 1 2 , o‘rta geometrik qiymat G(a)=Gn=n a a a n ... 1 2 , o‘rta kvadratik qiymat K(a)= Kn= n a a an 2 2 2 2 1   ...  va o‘rta garmonik qiymat N (a)=Nn= 1 1 2 1 1 ...    a  a   an n larni aniqlaymiz. Xususan x, y musbat sonlar uchun bu o‘rta qiymatlar quyidagicha aniqlanadi: A2= 2 x  y ; G2= xy ; K2= 2 2 2 x  y ; N2 = x y xy  2 . 2. O‘rta arifmetik va o‘rta geometrik qiymatlar haqida Koshi tengsizligi va uning turli isbotlari. Teorema. An  Gn va An = Gn tenglik faqat va faqat a1=a2 =…= an tenglik o‘rinli bo‘lganda o‘rinli. Isboti. A G n n  ekanligini matematik induksiya usulidan foydalanib isbotlaymiz: n  2 da 1 2 1 2 2 a a a a    . Bu tengsizlik ixtiyoriy musbat 1 a va 4 2 a sonlar uchun o‘rinli bo‘lgan   2 1 2 a a   0 tengsizlikdan oson hosil qilinadi. Berilgan tengsizlikni ixtiyoriy n ta natural sonlar uchun to‘g‘ri deb, n+1 ta natural sonlar uchun to‘g‘riligini isbotlaymiz. Bu sonlar 1 2 1 , , ..., , n n a a a a  bo‘lib, n 1 a  ularning orasida eng kattasi bo‘lsin. Ya’ni, 1 1 1 ,..., n n n a a a a     . Shuning uchun 1 2 1 ... n n a a a a n      . Quyidagicha belgilash kiritamiz: 1 2 1 2 1 1 1 ... ... , 1 1 n n n n n n n a a a a a a a n A a A A n n n                  . n n 1 a A   bo‘lgani uchun n n 1 a A    deb yozish mumkin, bu yerda   0 . U holda 1 1 1 n n n n n A A A A n n            . Bu tenglikni ikkala qismini (n+1) – darajaga ko‘tarib, quyidagini topamiz:                 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 . n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A A A C A n n n A A A A A A                                             Farazga ko‘ra,   1 2 ... n A a a a n n     . Buni e’tiborga olib,     1 1 1 1 2 1 ... n n A A a a a a a n n n n n            . Bundan 1 1 1 2 1 ... n A a a a a n n n         . Tenglik 1 2 ... n a a a    bo‘lganda o‘rinli bo‘ladi. 1-misol. x y , 0  bo‘lsa, 2 2 x y xy x y      1 tengsizlikni isbotlang. Yechilishi: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x x y y x y xy x y xy x y               . 5 2 2 2 2 2 2 , 2 2 1 , 1 . 2 2 1 . 2 2 x y xy y y x y xy x y x x                       2-misol. x  0 bo‘lsa, 12 4 6 2 2 2 2 x x x    tengsizlikni isbotlang. Yechilishi. 1 1 1 12 4 12 4 12 4 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x            . 3. O‘rta geometrik va o‘rta garmonik qiymatlar orasidagi tengsizlik. Teorema. G (a)  H(a) ekanligini, jumladan, H(a) = G(a) tenglik faqat va faqat a1=a2 =…= an shart bajarilsa to‘g‘riligini isbotlang. Isboti. Koshi tengsizligidan foydalanib (1-masalaga qarang) foydalanib (H(a)) -1= 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ... ( ( )) ...             a a a G a n a a a n n n tenglikka ega bo‘lamiz. Jumladan, H(a) = G(a) tenglik faqat a1=a2 =…= an da bajariladi. 1-misol. Agar abc , , 0  bo‘lsa, 3 1 1 1 3 abc abc      tengsizlikni isbotlang. Yechilishi:   1 1 1 9 abc abc            tengsizlikni isbotlaymiz:   3 3 3 3 3 , 1 1 1 9 1 1 1 1 9. 3 . a b c abc abc abc abc abc abc abc                        6 2-misol. Agar abc , , 0  , 2 3 ab c 1 bo‘lsa, 1 2 3 6 a b c    ni isbotlang. Yechilishi: 6 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 6 6 a b c a b b c c c ab c           . 4. O‘rta arifmetik va o‘rta kvadratik qiymatlar orasidagi tengsizlik. Teorema. K (a)  A(a) tengsizlik o‘rinli ekanligini, jumladan, K(a) = A(a) tenglik faqat a1=a2 =…= an holdagina o‘rinli bo‘lishini isbotlang. Isboti: Koshi tengsizligidan foydalanib (1-masalaga qarang) 2 i j a a  2 2 , 1 i j a a i j n     tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ... ) ... 2 n n i j i j n a a a a a a a a              2 2 2 2 2 1 2 1 ... ( ) n i j i j n a a a a a           = n( 2 2 2 1 2 ... ) n a a a    . Eslatib o‘tamiz, K (a) = A(a) tenglik faqat a1=a2 =…= an o‘rinli bo‘ladi. 1-misol.     2 2 2 2 3 a b c a b c      tengsizlikni isbotlang. Yechilishi:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 0. a b c a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b b c c a                       7 2-misol.        2 2 2 2 2 2 2 6 a b a b c a b a b c        tengsizlikni isbotlang. Yechilishi:             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0. 3 a b a b a b a b a b ab a b a b c a b c                                 
Sonli tengsizliklarni qo’shish, ko’paytirish va darajaga ko’tarish
Turli masalalarni yechish davomida ko‘pinchi tengsizliklarni qo‘shish yoki ko‘paytirishga, ya’ni tengsizliklarning chap qismlarini alohida va o‘ng qismlarini alohida qo‘shish yoki ko‘paytirishga to‘g‘ri keladi. Bunday hollarda ba’zan tengsizliklar hadlab qo‘shilyapti yoki hadlab ko‘paytirilyapti, deyiladi. Masalan, agar sayyoh birinchi kuni 20 km dan ko‘proq, ikkinchi kuni esa 25 km dan ko‘proq yo’lni bosib o‘tgan bo‘lsa, u holda u ikki kun ichida 45 km dan ko‘proq yo‘l bosib o‘tdi, deb aytish mumkin. Xuddi shunday, agar to‘g‘ri to’rt burchakning bo’yi 13 sm dan kam, eni 5 sm dan kam bo‘lsa, u holda shu to’g’ri to’rtburchakning yuzi 65 sm 2 dan kam, deb aytish mumkin. Bu misollarni qarashda tengsizliklarni qo‘shish va ko’paytirish haqidagi quyidagi teoremalar qo‘llaniladi. 1-teorema. Bir xil ishorali tengsizliklarni qo‘shishda xuddi shu ishorali tengsizlik hosil bo‘ladi: agar a > b va c > d bo‘lsa, u holda a+c > b+d bo‘ladi. Shartga ko‘ra a – b > 0 va c – d > 0. ushbu ayirmani qaraymiz: (a+c) –(b+d)= a+c – b – d = (a-b) + (c-d). Musbat sonlarning yig’indisi musbat bo‘lgani uchun (a+c) – (b+d) >0, ya’ni a+c > b+d. 2-teorema. Chap va o‘ng qismlar musbat bo‘lgan bir xil ishorali tengsizliklarni ko‘paytirish natijasida xuddi shu ishorali tengsizlik hisil bo‘ladi: agar a > b, c > d va a,b,c,d – musbat sonlar bo‘lsa, u holda ac > bd bo‘ladi. Ushbu ayirmani qaraymiz: ac - bd = ac-b + bc-bd = c(a-b) + b(c-d). Shartga ko’ra a-b > 0, c-d > 0, ya’ni ac –bd > 0, bunda ac>bd. 1-masala. Agar a, b – musbat sonlar va a > b bo’lsa, u holda a 2 > b 2 bo‘ladi. a> b tengsizlikni o‘z-o’ziga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz: a 2 > b 2 Shunga o‘xshash, a, b – musbat sonlar va a > b bo‘lsa, u holda istalgan natural n uchun a n > b n ekanligini isbotlash mumkin. Masalan, 5 >3 tengsizlikdan 5 3 > 5 3 , 7 5 > 7 3 kabi tengsizliklar kelib chiqadi. 2-masala. Uchburchak ichida yotuvchi istalgan nuqtadan istalgan nuqtadan uning uchlarigacha bo’lgan masofalar yig’indisi shu uchburchak yarim perimetridan katta ekanligini isbotlang.