Differensiallashning asosiy qoidalari. Hosilalar jadvali

DIFFERENSIALLASHNING ASOSIY QOIDALARI.
HOSILALAR JADVALI


Reja:

1. 
   Funksiya hosilasining ta’rifi
   
2. 
   Asosiy elementar funksiyalarning
   

1-misol. y=x² funksiyaning ixtiyoriy x₀ nuqtadagi hosilasi topilsin.
Yechish.
1) x=x-x₀x=x₀+x;
2) y=f(x)- f(x₀)=x²- =(x+x₀) (x-x₀)=(2x₀+x)^. x;
3) ;
4)
2-misol. y=sinx ning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasi topilsin.
Yechish.


Demak, (sinx)=cosx o‘rinli ekan. Bu yerda 1-ajoyib limitdan va cosx uzluksiz funksiya ekanligidan foydalandik.
Funksiyalarning hosilalarini toping.
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  .
Yechim:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г) 

Funktsiyalarning hosilalarini toping:
1. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
2. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
3. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
4. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
5. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
6. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
7. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
8. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
9. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
10. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .


Differensiallashning asosiy qoidalari
Yuqorida keltirilgan differensiallashning asosiy qoidalari yordamida hosila ta’rifi bo‘yicha asosiy elementar funksiyalarning hosilaplarini keltirib chiqaramiz.
1. y=c  c=0 ekanligini ko‘rdik (c - o‘zgarmas).
2. y=a^x  .
,


.

Demak, (a^x)= a^xlna.

Xususiy holda, a=e bo‘lsa,
(e^x)= e^x
ni olamiz.
3. y=log_ax .
Bunga teskari funksiya x=a^y ekanligidan yuqoridagi va teskari funksiya hosilasi formulasi asosida

ni olamiz.

Demak,

Xususiy holda, a=e bo‘lsa,

kelib chiqadi.
4. y=x^ (0). x>0 bo‘lgan holda x^ =e^lnx tenglik o‘rinli ekanligi aniqdir. Unga murakkab funksiyani differensiyalash qoidasini qo‘llab,
(x^) =(e^lnx)= e^{lnx .} (lnx)= e^{lnx ..} = x^. = x^-1,
ya’ni
(x^) =x^-1
ni olamiz.
Agar darajali funksiya x<0 bo‘lganda ham aniqlangan bo‘lsa, uning juftlik yoki toqlik xossasi asosida yuqoridagi formula o‘rinli ekanligini keltirib chiqarish mumkin. Undan tashqari, >1 bo‘lgan va darajali funksiya argumentning manfiy qiymatlari uchun ham aniqlangan holda x=0 nuqtada ham hosila mavjudligini va u yuqoridagi formula asosida aniqlanishini argumentning manfiy qiymati uchun aniqlanmagan bo‘lsa, x=0 da o‘ng hosila mavjud va u nolga tengligini aytamiz.
Agar =1 bo‘lsa , y=x funksiyaga ega bo‘lamiz va bu holda (x)=1 ekanligini olish qiyin emas. Demak, argument hosilasi birga teng ekan.
5. y = sinx.

ya’ni
(sin x)=cosx
ni olamiz.
6. y = cosx . cosx = .

Demak,
(cos x)= - sinx.
7. y=tgx , .
Bo‘linmani differensiallash qoidasini qo‘llasak,

ya’ni

ni olamiz.
8. y=ctgx, .
Yuqoridagiga o‘xshash,

ni olish mumkin.
9. y=arcsinx , .
x=sin y, x=cosy=

Demak,

10. y=arccos x, .

Yuqoridagiga o‘xshash,

11. y=arctg x. .


Demak,
.
12. y=arcctg x. .
Yuqoridagidek,
.


Hosila jadvali

Yuqorida olingan natijalarni quyidagicha joylashtiramiz.

1. .

.
2. . (e^x)=e^x
3. .
.
4. (sin x) = cos x.
5. (cos x)= - sin x.
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .