Əbülfəz Elçibəy 24 iyun 1938-ci ildə Naxçıvan MSSR-in Ordubad rayonunun Kələki kəndində anadan olub. 7 illik Unuskənd məktəbini bitirdikdən sonra Ordubad şəhər 1 saylı orta məktəbində təhsilini davam etdirib. 1957-ci ildə Azərbaycan Dövlət Universitetinin Şərqşünaslıq fakültəsinin ərəb filologiyası şöbəsinə daxil olub. Buranı bitirdikdən sonra (1962) təyinatla SSRİ Hidrolayihə İnstitutunun Bakı şöbəsində tərcüməçi işləyib. 1963-cü ilin yanvarında Misir Ərəb Respublikasına göndərilən Əbülfəz Elçibəy 1964-cü ilin oktyabrına kimi Asuan bəndinin tikintisində tərcüməçi kimi çalışıb. Xarici ezamiyyətdən dönərək 1965-ci ildə ADU-nun aspiranturasına daxil olub və aspirantura təhsilini 1968-ci ildə uğurla tamamlayıb. Tulunilər dövləti (868–905)" mövzusunda dissertasiya müdafiə edərək tarix elmləri namizədi alimlik dərəcəsi alıb (1969). ADU-nun "Asiya və Afrika ölkələri tarixi" kafedrasında müəllim və baş müəllim işləyib (1968–1975). 1975-ci ilin yanvarında Azərbaycan Dövlət Təhlükəsizlik Komitəsi onu tələbələr arasında millətçi və antisovet təbliğatı aparmaq adı ilə həbs edir və 17 iyul 1976-cı ilədək siyasi dustaq olaraq azadlıqdan məhrum edir. Əsasən Qaradağ daş karxanasında ağır fiziki işlərə məhkum edilmişdir. Həbsdən buraxıldıqdan sonra bir müddət işsiz qalır. 1976-cı ilin dekabrında Azərbaycan EA Əlyazmalar İnstitutunda kiçik elmi işçi kimi elmi fəaliyyətə başlayır. Sonralar böyük elmi işçi, şöbə müdiri, aparıcı elmi işçi elmi rütbə və vəzifələrə qədər yüksəlir (16.07.1992-ci ilədək)
Əbülfəz Elçibəyin Soykökü
Seyidlərdən ibarət olan (bu səbəbdən də onların adına "Seyid" və "Mir" dini titulları artırılıb) ata tərəfi Cənubi Azərbaycandandır. İlkin ulu babaları kökcə Şah İsmayıl Səfəvinin sələflərindən olan Şeyx Sədrəddin Musanın (1305–1392) uruqlarındandır. Bəzi qaynaqlarda Şeyx Sədrəddinə Şeyx Xoca Əli də deyildiyi bildirilir, bəzi qaynaqlarda isə Şeyx Xoca Əlinin onun oğlu olduğu göstərilir. Bu fikirlərdən hansının doğruluğundan asılı olmayaraq Əbülfəz Elçibəyin nəsli məhz həmin Şeyx Xoca Əlidən (Şeyx Əli Xoca da adlanıb) başlanır. Ancaq bunu da demək gərəkdir ki, Şeyx Əli Xocanın törəmələrinin bu qolunda şeyxlik olmayıb.