Интегрирование тригонометрических функции

1 mashq

Представим исходный интеграл, как сумму интегралов:

a)
Это табличный интеграл:

b)
Это табличный интеграл:

c)
Это табличный интеграл:

2-mashq
Выражение 2*x подведем под знак дифференциала, т.е.:
; t = x²
Тогда исходный интеграл можно записать так:

Это табличный интеграл:

Чтобы записать окончательный ответ, осталось вместо t подставить x^2.

3-mashq

Bizga verilgan funksiyalar y1 = 1/(1 + cos(x)) va y2 = 0 o'zgaruvchilarining grafiklarining chegaralangan figura yuzini topish uchun, ularning chegaralangan x-intervalini aniqlashimiz kerak.

Birinchi o'zgaruvchi uchun y1 = 1/(1 + cos(x)) ni ko'rib chiqamiz. Bu funksiya cos(x) ning mos kelishuvini o'zgartirib beradi va chegaralangan figura ni yuzini topish uchun bizga qanday x-intervali kerakligini bildiradi.

y1 funksiyasi uchun chegaralangan x-intervalini topish uchun, cos(x) ning chegaralangan qiymatlarini ko'rib chiqamiz.

Minimal chegaralanish uchun cos(x) ning minimal qiymatini olishimiz kerak. cos(x) funksiyasining minimal qiymati -1 ga teng bo'lishi mumkin. Shu sababli, 1 + cos(x) ning minimal qiymati 1 + (-1) = 0 ga teng bo'ladi. Bunday holatda y1 funksiyasining chegaralangan x-intervali bo'ladi:

-π ≤ x ≤ π

Keyin y2 = 0 funksiyasini ko'rib chiqamiz. Bu funksiya o'zgartirmaydi va har qanday x qiymati uchun y2 qiymati hamda chegaralangan x-intervali:

y2 = 0, -∞ < x < ∞

Chegaralangan x-intervalni topishdan so'ng, chegaralangan figura yuzini topish uchun y1 va y2 funksiyalarining chegaralangan x-intervalida chegaralangan qismalarini hisoblaymiz. Shunga ko'ra, chegaralangan figura yuzini hisoblash uchun integraldan foydalanamiz.

Chegaralangan figura yuzini topish uchun integral:

S = ∫[a,b] |y1 - y2| dx

Bu integralni hisoblash uchun y1 va y2 ni chegaralangan x-intervalida hisoblashimiz kerak. Biz esa y1 = 1/(1 + cos(x)) va y2 = 0 funksiyalarini hisoblaymiz:

S = ∫[-π,π] |(1/(1 + cos(x))) - 0| dx

Simplifikatsiyalash uchun bu integralni y1 funksiyasini qo'llaymiz:

S = ∫[-π,π] (1/(1 + cos(x))) dx

Ushbu integralni hisoblash uchun aniq integrallash usullaridan foydalanishingiz mumkin, masalan, sonli integrallarni hisoblash, ya ham ilmiy integrallash usullaridan foydalanishingiz mumkin. Natijada, bu integralni aniq qiymati bilan hisoblash uchun x-intervalida y1 funksiyasini hisoblab, y1 ni integrallab olasiz.

4-mashq

Differensial tenglama:

(√(4-x^2))y' + (xy)^2 + x = 0

Ushbu differensial tenglamani umumiy integralini topish uchun bir nechta tartiblangan qadamlar kerak bo'ladi.

Birinchi qadam, differensial tenglamani y' (y ni x bo'yicha differensiallash) bo'yicha tahlil qilish:

(√(4-x^2))y' + (xy)^2 + x = 0

(√(4-x^2))y' = -x - (xy)^2

y' = (-x - (xy)^2) / (√(4-x^2))

Keyin, integralni topish uchun y' ni yorliqdagi funksiya y bilan almashinuvchi integrallash usulidan foydalanamiz:

∫ y' dx = ∫ ((-x - (xy)^2) / (√(4-x^2))) dx

Umumiy integrallash usulini qo'llaymiz va y'ni x bo'yicha integrallab olamiz:

∫ y' dx = ∫ ((-x - (xy)^2) / (√(4-x^2))) dx

y = ∫ ((-x - (xy)^2) / (√(4-x^2))) dx

Integrallashning natijaviy formulani topish juda qiyin bo'lishi mumkin. Differensial tenglamalardan umumiy integralni topish odatda tashqi faktorlar, integrallashning xususiy xususiyatlari yoki ilmiy usullar bilan amalga oshiriladi.

Differensial tenglamalarni umumiy integralini topish uchun boshqa usullardan foydalanishni maslahat beraman. Kompleks differensial tenglamalar uchun natijaviy formulalar va xususiy integrallash usullari mavjud bo'lishi mumkin.

5-mashq

Berilgan differentsial tenglama xy' = 3√(2x^2 + y^2) + y ning umumiy integralini topish uchun integrallash usullaridan foydalanamiz. Integralni topish uchun keling, qadam-qadam ko'raylik.

1. Tenglama yonida y' ni isolatsiyalaymiz:

xy' - y = 3√(2x^2 + y^2)

2. Yuqoridagi tenglamani y'ning o'rniga y ni y/x bilan almashtiramiz:

y/x * x - y = 3√(2x^2 + y^2)

3. Tenglamani oddiy bir-biriga bo'lgan qismiga ajratib olish uchun y/x ga hisobiy umumiy integralni hisoblaymiz:

∫(y/x - y) dx = ∫3√(2x^2 + y^2) dx

4. Umumiy integrallarni hisoblash uchun o'zgaruvchilar ustida alohida integrallashni amalga oshirishimiz kerak. Quyidagi integralni hisoblaymiz:

∫(y/x) dx - ∫y dx = ∫3√(2x^2 + y^2) dx

5. Yuqoridagi integrallarni har bir qismga ajratib olishimiz kerak:

∫(y/x) dx - ∫y dx = ∫3√(2x^2 + y^2) dx

6. Yonima formulalaridan foydalanib integralni hisoblaymiz:

ln|x| - ∫y dx = ∫3√(2x^2 + y^2) dx

7. Natijaviy integralni hisoblash uchun qolgan integrallarni hisoblaymiz:

ln|x| - y + C1 = ∫3√(2x^2 + y^2) dx + C2

Bu yerda C1 va C2 integrallash konstantsiyalari hisoblanadi.

Shu bilan umumiy integralni topishimiz mumkin:

ln|x| - y = ∫3√(2x^2 + y^2) dx + C

Bu, berilgan differentsial tenglama uchun umumiy integralning natijaviy shakli.

6-mashq



7-mashq

8-mashq

9-mashq

Har bir harfning 5 ta o'rni bo'lishi mumkin. U holda, birinchi o'rindagi harfni 5 ta harf bilan almashtirish mumkin. Keyin birinchi o'rindagi harfni olib tashlab ikkinchi o'riniga qo'yish mumkin. Shu ko'rinishda 5 ta harfni o'rnatishdan hosil bo'ladigan so'zlar sonini topish uchun 5! (5 faktorial) hisoblangan:

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Natijada, "BARNO" so'zida harflar o'rni almashtirib 120 ta farkli so'z hosil qilish mumkin.

10-mashq

Quyidagi hodisalarning ehtimolliklarini topish uchun, bir nechta faktlarni hisobga olingan hodisa ehtimolliklarini umumiy ehtimollik formulasi bilan hisoblashimiz kerak.

1. Hodisa A: 4 raqami tushdi.

Bu hodisa sodda tomon bilan amalga oshirilgan tomonlardan foydalanib hisoblanishi mumkin. 1, 3, 5 raqamlari tomonni tomonlarga berish mumkin bo'lgani uchun, ehtimollik:

P(A) = P(1 tushgan) + P(3 tushgan) + P(5 tushgan)

Agar tomonlar teng ehtimollikka ega bo'lsa, P(1 tushgan) = P(3 tushgan) = P(5 tushgan) = 1/6 ga teng bo'ladi. Shuningdek:

P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

2. Hodisa B: 4 dan katta raqam tushdi.

Bu hodisada 4 dan katta raqamlar tushishi kerak. Uchta raqamdan birini tomon sifatida tanlash mumkin (5, 6), shuningdek, uchta raqamdan birini aylanarli sifatida tanlash mumkin (4, 5, 6). Shu sababli, ehtimollik:

P(B) = P(5 tushgan) + P(6 tushgan) + P(4 tushgan) * P(5 tushgan) + P(6 tushgan)

Tomonlar teng ehtimollikka ega bo'lsa, P(5 tushgan) = P(6 tushgan) = 1/6 ga teng bo'ladi. Shuningdek, uchta raqamdan birini tanlashning ehtimolliklari ham 1/6 ga teng bo'ladi. Shu bilan birga:

P(B) = 1/6 + 1/6 + (1/6 * 1/6) + (1/6 * 1/6) = 2/6 + 1/36 + 1/36 = 4/12 + 1/36 + 1/36 = 9/18 + 1/36 + 1/36 = 18/36 + 1/36 + 1/36 = 20/36 = 5/9

Natijada:

P(A) = 1/2

P(B) = 5/9

Bu ehtimolliklar esa belgilangan hodisalarning sodda tomonlar bilan amalga oshirilishi asosida topilgan.

10-masq

Berilgan hodisalar uchun ehtimollikni topish uchun quyidagi ma'lumotlarni bilishimiz kerak:

- Kubik tashning har bir tomoni 6 ta raqam bilan belgilangan. Bu holatda, har bir tomon 6 ta ehtimollik bilan belgilanadi.

- A hodisasi uchun 4 raqami tushgan tomonni topishimiz kerak. Bu tomonlardan faqat 1 ta 4 raqami mavjud. Shuning uchun A hodisasining ehtimollik ehtimollik 1/6 = 0.1667 (yoki 16.67%).
- B hodisasi uchun 4 dan katta raqam tushgan tomonni topishimiz kerak. Bu tomonlardan 2 ta 4 dan katta raqamlar mavjud (5 va 6). Shuning uchun B hodisasining ehtimollik ehtimollik 2/6 = 0.3333 (yoki 33.33%).


Natijada, A hodisasi uchun ehtimollik 0.1667 (yoki 16.67%) va B hodisasi uchun ehtimollik 0.3333 (yoki 33.33%) bo'ladi.