Irratsional sonlar deyiladi. Masalan: va h k. Barcha ratsional va irratsional sonlar to‘plami haqiqiy sonlar

Ketma-ketlik va uning limiti.Oʻzgaruvchan va oʻzgarmas miqdorlar. Toʻplamlar va ular ustida amallar. Ketma-ketlik va uning limiti
REJA:

1. 
   Ketma-ketlik va uning limiti.
   
2. 
   Limitlar haqidagi asosiy teoremalar.
   
3. 
   Bir tomonlama limitlar.
   

I. Tabiat, fan va texnika masalalarida qatnashgan miqdorlarning o‘zaro munosabatlarini tekshirishga olib keladigan miqdorni o‘lchov birligi yordamida taqqoslab ko‘rish natijasida yoki boshqacha aytganda o‘lchash natijasida son hosil bo‘ladi. O‘lchash natijasida butun, kasr sonlar hosil bo‘lishi mumkin. Son tushunchasi qadim zamonlarda paydo bo‘lib, uzoq davrlar davomida kengaygan va umumlashgan.
Butun, kasr, musbat, manfiy sonlar, nol soni bilan birga ratsional sonlarni tashkil etadi va har qanday ratsional sonni ikkita butun son nisbati, ya’ni p/q ko‘rinishda tasvirlash mumkin.
Masalan: va h.k.
Ratsional sonlarni chekli yoki o‘nli kasr ko‘rinishda ifodalash mumkin. Davriy bo‘lmagan cheksiz o‘nli kasrlar irratsional sonlar deyiladi.
Masalan: va h.k.
Barcha ratsional va irratsional sonlar to‘plami haqiqiy sonlar deyiladi. Haqiqiy sonlar qiymatlari bo‘yicha tartibga solingandir. Har bir juft haqiqiy son va uchun quyidagi munosabatlardan faqat bittasi o‘rinli bo‘ladi. haqiqiy sonlarni sonlar o‘qining nuqtalari bilan tasvirlash mumkin.
Sonlar o‘qi shunday cheksiz to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘ladiki unda:

1. 
   Sanoq boshi deyiladigan biror 0 nuqta;
   
2. 
   Musbat va manfiy yo‘nalish (bular strelka bilan ko‘rsatiladi)
   

nuqtadan boshlab chapdan o‘ngga bo‘lgan yo‘nalish musbat, aksinchasi manfiy bo‘ladi;
3) Uzunliklarni o‘lchash uchun masshtab birligi tanlab olingan bo‘ladi.

nuqta sonini tasvirlaydi, har bir haqiqiy son sonlar o‘qining ma’lum bir nuqtasi bilan tasvirlanadi. Ikkita har xil haqiqiy sonlar har xil nuqtalar bilan tasvirlanadi. Sonlar o‘qining har bir nuqtasi birgina haqiqiy sonlarning tasviridan iboratdir. Shunday qilib barcha haqiqiy sonlar bilan sonlar o‘qidagi barcha nuqtalar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjuddir. Har bir songa sonlar o‘qida uni tasvirlanuvchi birgina nuqta mos keladi va aksincha, sonlar o‘qidagi har bir nuqtaga shu nuqta bilan tasvirlanuvchi birgina son to‘g‘ri keladi.
Haqiqiy sonlar to‘plami quyidagi muhim xossaga ega, ixtiyoriy ikkita haqiqiy son orasida ratsional sonlar ham, irratsional sonlar ham topiladi.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
1-teorema. Har bir irratsional son istalgan darajadagi aniqlikda ratsional sonlar yordami bilan ifodalanadi.
1-misol.

Haqiqiy sonlarning absolyut qiymati (moduli) kabi belgilanadi. haqiqiy sonning absolyut qiymati (moduli) deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi manfiy bo‘lmagan haqiqiy songa aytiladi:

Masalan, .
Har qanday son uchun munosabat o‘rinlidir.
Sonlarning absolyut qiymatining xossalari.
-xossa. Haqiqiy sonlar algebraik yig‘indisining absolyut qiymati qo‘shiluvchilar absolyut qiymatlarining yig‘indisidan katta emas, ya’ni

Haqiqatdan, agar bo‘lsa, u holda
, chunki .
Agar bo‘lsa, u holda

-xossa. Ayirmaning absolyut qiymati kamayuvchi va ayriluvchining absolyut qiymatlari ayirmasidan kichik emas, ya’ni

Haqiqatdan, agar deb olsak, bo‘lib,

Bundan

bo‘ladi.
-xossa. Ko‘paytmaning absolyut qiymati ko‘paytuvchilar absolyut qiymatlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni

-xossa. Bo‘linmaning absolyut qiymati bo‘linuvchi va bo‘luvchi absolyut qiymatlarining bo‘linmasiga teng, ya’ni

Fan va texnikada uchraydigan miqdorlar o‘zgaruvchi yoki o‘zgarmas bo‘lishi mumkin. Masalan, yurib turgan poyezdning bosayotgan masofasi yoki tezligi, isitilayotgan jismning temperaturasi, erib turgan muzning miqdori, yurib turgan mashinada sarf bo‘layotgan benzin miqdori o‘zgaruvchi bo‘ladi. Keltirilgan misollardan yurayotgan poyezdni ko‘rib o‘taylik. Bu holda uning bosayotgan masofasi yoki tezligi, unga sarf bo‘lgan vaqtga qarab o‘zgarib boradi, ya’ni o‘zgaruvchi miqdor bo‘ladi. Holbuki, poyezdning tezligi o‘zgarmas yoki o‘zgaruvchi bo‘lishi mumkin, chunki u bir xil tezlikda yoki borgan sari tezlashib yoki borgan sari sustlashib, yoki goho tezlashib va goho sustlashib yurishi mumkin. Shuning uchun masalada qatnashgan miqdorlardan qaysi birining o‘zgarmas yoki o‘zgaruvchi bo‘lishi ko‘rilayotgan masalaning shartlariga bog‘liqdir, biroq miqdorlarning orasida shundaylari ham uchraydiki ular har xil sharoitda o‘z qiymatini saqlab o‘zgarmas bo’lishi mumkin. Masalan, har qanday uchburchakda ichki burchaklarning yig‘indisi ga teng, har qanday aylana uzunligini uning diametriga nisbati ga tengdir.
1-ta’rif: Har doim bir xil qiymatlar qabulqiluvchi miqdorlar absolyut o‘zgarmas miqdorlar deyiladi.
2-ta’rif: Umuman, biror hodisani tekshirishda yoki har bir sharoitda o‘z qiymatini saqlagan miqdorni o‘zgarmas va turli qiymatlarga ega bo‘lgan miqdori o‘zgaruvchi miqdor deyiladi.
Odatda o‘zgaruvchi miqdorlar harflari bilan, o‘zgarmas miqdorlar harflar bilan belgilanadi.
Ko‘p masalalarda o‘zgaruvchi miqdorning qiymatlarini chegaralashga, ya’ni uning qiymatlaridan biror ikki aniq son orasidagi qiymatlarni e’tiborga olishga to‘g‘ri keladi.
3-ta’rif: O‘zgaruvchi miqdorlarning barcha son qiymatlar to‘plami shu o‘zgaruvchining o‘zgarish sohasi deyiladi.
4-ta’rif: Agar o‘zgaruvchi ning hamma qiymatlari shartni qanoatlantirsa, bu holda miqdor oraliqda yoki intervalda o‘zgaradi deyiladi va bunday interval yopiq interval deyiladi, hamda kabi belgilanadi.
5-ta’rif: Agar o‘zgaruvchi ning hamma qiymatlari shartni qanoatlantirsa, u holda ochiq interval deyiladi va kabi belgilanadi. Bunda lar x ni qiymatlariga kirmaydi.
6-ta’rif: Agar ning qiymatlari yoki shartni qanoatlantirsa bu holda interval mos ravishda o‘ngdan va chapdan yarim ochiq oraliqlar deyiladi va mos ravishda kabi belgilanadi.
7-ta’rif: Agar o‘zgaruvchi miqdor ning o‘zgarish sohasi va uning ixtiyoriy har ikki qiymatning qaysi biri oldingi va qaysi biri keyingi ekanligi ma’lum bo‘lsa, bu o‘zgaruvchi tartiblangan o‘zgaruvchi miqdor belgilanadi.
Qiymatlar to‘plami sonlar ketma-ketligini hosil qiladigan o‘zgaruvchi miqdor tartiblangan o‘zgaruvchi miqdorning xususiy holidir. Bunda larning qaysi biri miqdor jihatidan katta kichikligidan qat’iy nazar oldingi keyingi qiymatdir.
8-ta’rif: Agar o‘zgaruvchi miqdorning keyingi qiymati oldingidan katta bo‘lsa o‘suvchi, keyingi qiymati oldingidan kichik bo‘lsa kamayuvchi o‘zgaruvchi miqdor deyiladi. O‘sib boruvchi yoki kamayib boruvchi miqdorlar monoton o‘suvchi, monoton kamayuvchi yoki umuman monoton o‘zgaruvchi miqdor deyiladi.
9-ta’rif: Agar o‘zgaruvchi miqdor x uchun quyidagi tengsizlik

o’rinli bo’lsa, ya’ni x ning har qanday qiymatida ham bu tengsizlik o‘z kuchini saqlasa,u holda bunday o‘zgaruvchi chegaralangan yoki cheklangan deyiladi.
Masalan, cheklangan yoki chegaralangan bo‘ladi, chunki
II. To`plam ta’riflanmaydigan tushuncha bo`lib, u eng muhim matеmatik tushunchalardan biridir.
To`plam tushunchasi to`plamlar nazariyasining asoschisi bo`lgan nеmis matеmatigi Gеorg Kantor tomonidan (1845-1908) kiritilgan.
To`plam ba’zi bir narsalar, buyumlar, obеktlarni birgalikda qarash natijasida vujudga kеladi. Masalan: barcha natural sonlarni birgalikda qarash natural sonlar to`plamini, to`g`ri chiziqda yotuvchi barcha nuqtalarni birgalikda qarash shu to`g`ri chiziq nuqtalari to`plamini bеradi.
10-ta’rif: To`plamni tashkil qiluvchi obеktlar shu to`plamning elеmеntlari dеyiladi.
To`plamlar lotin yoki grеk alifbosining katta harflari bilan, uning elеmеntlari esa, shu alifboning kichik harflari bilan bеlgilanadi.
Agar А to`plam elеmеntlardan tuzilgan bo`lsa, u ko`rinishda yoziladi.
To`plamni tashkil qiluvchi elеmеntlar soni chеkli va chеksiz bo`lishi mumkin. Shuning uchun to`plamlar ham chеkli yoki chеksiz bo`ladi.
11-ta’rif: Elеmеntlari soni chеkli bo`lgan to`plam chеkli to`plam va aksincha esa, chеksiz to`plam dеyiladi.
Ba’zi bir chеkli va barcha chеksiz to`plamlarni o`z elеmеntlari orqali bеvosita yozish mumkin emas. Bunday hollarda to`plamlar o`z elеmеntlarining xaraktеristik xossalari orqali bеriladi.
Masalan:

1. 
   tеnglamaning ildizlari to`plami
   

ko`rinishda yoziladi. Umumiy holda, agar А to`plamning barcha elеmеntlari biror xossaga ega bo`lsa, u kabi yoziladi.
elеmеnt to`plamga tеgishli» dеgan gap kabi bеlgilanadi. Biror elеmеntning to`plamga tеgishli emasligi kabi yoziladi.
Bir nеchta to`plamlar bеrilgan bo`lsin: .
12-ta’rif: to`plamning har bir elеmеnti to`plamga tеgishli bo`lsa va aksincha, to`plamning har bir elеmеnti to`plamga tеgishli bo`lsa, va to`plamlar o`zaro tеng dеyiladi va kabi bеlgilanadi.
13-ta’rif: to`plamning har bir elеmеnti to`plamga tеgishli bo`lsa, to`plam to`plamning qism to`plami dеyiladi va ВА kabi bеlgilanadi.
bеlgi— saqlanishlik bеlgisi dеyiladi.
Agar to`plamlar bitta to`plamning qism to`plamlari dеb qaralsa, u holda saqlanishlik munosabati quyidagi xossalarga ega bo`ladi.