Kuchning nuqtaga va o`qqa nisbatan momenti

KUCHNING NUQTAGA VA O`QQA NISBATAN MOMENTI


Reja:

1. 
   Kuchning nuqtaga va o`qqa nisbatan momenti.
   
2. 
   Juft kuchlar. Juft kuchlarning momenti.
   
3. 
   Ekvivalent juftlar.
   
4. 
   Bir tekislikda joylashgan juftlarni qo`shish.
   

Jismlar nafaqat ilgarilama harakatda bo`lishi, ko`p hollarda aylanma harakatda ham bo`lishi mumkinligi, va ularni shunday harakatini chekllovchi shartlar bilan tanishtiriladi. Kuchlarning turli nuqtalarga va o`qlarga nisbatan momenti nima, u qanday hisoblanishi haqida so`z yuritiladi. Juft kuch nima, ularning momentlari qanday hisoblanadi, ularni momentlarini qanday qo`shish haqidagi qoidalar bayon qilinadi. SHu va shunga o`xshash savollarga javob beriladi.

1.Kuchning nuqtaga (markazga) nisbatan momenti.

Tajribalar shuni ko`rsatadiki, kuchlar nafaqat jismni ilgarilama harakat qildiraolar ekan, bazi hollarda ixtiyoriy berilgan nuqta atrofida aylanma harakat berishlari ham mumkin ekan. Buning uchun shu tanlangan nuqta qo`zg`almas deb hisoblanadi.

U holda bu jismga tasir etuvchi kuchlar o`zlarining yo`nalishi va son qiymatlariga bog`liq ravishda aylantiruvchi effekt beradilar, ushbu effektni mexanika tilida kuchning momenti deb ataladi (4.1 shakl ).

4.1 shakl.
Kuchning biror nuqtaga nisbatan momenti deb, shu kuchning modulini(son qiymatini), uning shu nuqtagacha bo`lgan elkasiga ko`paytmasiga aytiladi.
Kuchning nuqtaga nisbatan elkasi deb, shu berilgan nuqtadan kuchning tasir chizig`iga tushirilgan perpendikulyarning uzunligiga aytiladi.
Demak, biror nuqtaga nisbatan kuchning momentini aniqlash uchun, shu kuchning modulini (son qiymatini), uning shu nuqtaga nisbatan elkasiga ko`paytmasiga aytilar ekan. Ikkinchidan tanlangan nuqta atrofida jism soat strelkasining qaysi tarafiga qarab aylanishiga ko`ra uni musbat yoki manfiy ishora bilan belgilanadi.
Nazariy mexanika fanida, jismga tasir etayotgan kuchlar, jismni berilgan nuqta atrofida soat strelkasi tomonga aylantirsalar, uning momenti manfiy ishora bilan belgilanadi, agar soat strelkasi yo`nalishiga teskari tomonga aylantirishsa musbat ishora bilan belgilanishi qabul qilingan.
Masalan shaklda ko`rsatilgan kuchning O nuqtaga nisbatan momenti, quyidagicha yoziladi, yani
(4.1)

Ushbu yozuvdan ko`rinib turibdiki, lotincha m - harfi kuchning momentini belgilaydi, indeksdagi O harfi, kuchning qaysi nuqtaga nisbatan momenti hisoblanayotganligini ko`rsatadi.

Qavs ichida qaysi kuchning momenti aniqlanayotganligi ko`rsatilgan, barobardan keyin shu kuchning tasirida jism, o`sha nuqta atrofida qaysi tomonga aylanishiga bog`liq ravishda, tegishli musbat yoki manfiy ishora qo`yilgan. Undan keyin tegishli kuchning son qiymatini uning shu nuqtaga nisbatan elkasiga ko`paytmasi bilan ifodalanadi.
SHunga ko`ra kuchning nuqtaga nisbatan momentining o`lchov birligi (Nm)larda o`lchanadi, yani kuch birligi (Ng`yuton)ning uzunlik birligi (metr)ga ko`paytmasi bilan o`lchanadi.
Kuchning nuqtaga nisbatan momentining quyidagi xususiyatlari bilan tanishib o`tish lozim deb hisoblayman:

1. 
   Kuchni o`z tasir chizig`i bo`ylab boshqa nuqtaga ko`chirsak, uning o`sha nuqtaga nisbatan momenti o`zgarmaydi.
   
2. 
   Agar kuchning son qiymati nolga teng bo`lsa, yoki uning tasir chizig`i berilgan markazni kesib o`tsa, uning shu markazga nisbatan olingan momenti nolga teng bo`ladi.
   
3. 
   Kuchning nuqtaga nisbatan momentining son qiymati, shu kuchning vektori bilan berilgan nuqtaga qurilgan uchburchakning ikkilangan yuzasiga teng (shakl 4.1 b).
   

Kuchning nuqtaga nisbatan momenti vektor qiymat bo`lib, u kuch qo`yilgan nuqtaning radius vektori bilan kuch vektorining vektor ko`paytmasiga teng, yani


(4.2)

F - kuchining Dekart koordinata o`qlari markaziga nisbatan olingan momentlari, quyidagi formuladan aniqlanadi (4.2 shakl ),

4.2 shakl.

Ushbu formulalardan foydalanib, Ox, Ou va Oz o`qlarga nisbatan olingan momentlarni yozamiz,
(4.3)
YUqoridagilarni aniqlagandan so`ng m - vektor momentning modulini aniqlash uchun, Pifagor teoremasidan foydalanamiz.


(4.4)
2.Kuchning o`qqa nisbatan momenti.

kuchni ixtiyoriy yo`nalgan Oz -o`qqa nisbatan momentini aniqlash zarur bo`lsin(shaklga qarang). Buning uchun shu o`qqa perpendikulyar bo`lgan birorta tekislik olamiz, va kuchni shu tekislikka proektsiyalaymiz, masalan bu xOu tekisligi bo`lsin, u holda kuchining shu tekislikdagi proektsiyasi vektorini hosil qilamiz. Endi shu kuch vektorini O nuqtaga nisbatan olingan momenti, kuchining Oz - o`qiga nisbatan olingan momenti deb hisoblanadi (shakl 4.3), yani

4.3 shakl.



va buning moduli quyidagicha aniqlanadi,
(4.5)

Kuchning o`qqa nisbatan momentining quyidagi xususiyatlari bilan tanishib o`tish lozim deb hisoblayman:

1. 
   Agar kuch vektori biror o`qqa parallel bo`lsa, uning shu o`qqa nisbatan momenti nolga teng bo`ladi, chunki .
   
2. 
   Agar kuch vektorining tasir chizig`i biror o`qni kesib o`tsa, kuchning shu o`qqa nisbatan momenti nolga teng bo`ladi, chunki hh0 bo`ladi.
   
3. 
   Agar kuch vektori bilan, o`q bir tekislikda yotsalar, kuchning shu o`qqa nisbatan momenti nolga teng bo`ladi, chunki 1) va 2) xususiyatlardan biri paydo bo`ladi.
   

Kuchning o`qqa nisbatan olingan momenti ham vektor qiymatdir, uni ham yuqoridagi kabi yozib chiqish mumkin, buni aniqlashni studentlarga havola qilamiz.

3.Teng tasir etuvchi kuchning momenti haqidagi Varing`on teoremasi.

Faraz qilaylik bir nuqtada (masalan A nuqtada) joylashgan ikkita kuchlar berilgan bo`lsin, endi shu kuchlarni qo`shib ularning teng tasir etuvchisi ni aniqlagan bo`laylik.

4.4 shakl.
Endi ixtiyoriy bitta O nuqta tanlab olaylikda, so`ngra shu nuqtaga nisbatan kuchining momentini, hamda shu nuqtaga nisbatan kuchlarning momentlarini yig`indilarini olib ko`raylik.
Varing`on teoremasiga ko`ra, teng tasir etuvchi kuchning ixtiyoriy nuqtaga nisbatan olingan momenti, tashkil etuvchi kuchlarning shu nuqtaga nisbatan olingan momentlarining algebraik yig`indisiga teng ekan.
Isbot. Faraz qilaylik biror A nuqtaga qo`yilgan kuchlarni O markazga nisbatan moment vektorlarining yig`indisi quyidagicha yoziladi,


(4.6)

SHu bilan, bu teorema isbot qilindi, uning afzalligi shundaki ko`p hollarda ayrim kuchlarning momentlarini to`g`ridan to`g`ri aniqlashda uning elkasini topish ancha murakkab bo`lishi mumkin. SHunday masalalarni echishda berilgan kuchni koordinata o`qlariga parallel bo`lgan tashkil etuvchilarga ajratilib, so`ngra ularning har birini berilgan markazga nisbatan momentlarini aniqlab algebraik ravishda (vektor yig`indi kabi emas) qo`shiladi.

4. 
   Juft kuch. Juft kuchning momenti.
   

Yo`nalishlari qarama qarshi, son qiymatlari o`zaro teng va tasir chiziqlari parallel bo`lgan ikkita kuch, juft kuch (yoki juft) deyiladi.

Bunday kuchlarni qo`shib bo`lmaydi, yani ularning teng tasir etuvchisi bo`lmaydi, bunday kuchlar sistemasi shundayligicha saqlanib qolinadi va ularni juft kuchlar deyiladi.
Juftning momenti deb, juftlarni tashkil etuvchi kuchlarning birortasining modulini, jftning elkasiga ko`paytmasiga aytiladi (shakl). Juftning elkasi deb shu kuchlarning tasir chiziqlari orasidagi eng qisqa masofaga aytiladi.


(4.7)

bu erda d - juftning elkasi.

Juft kuch momenti ham vektor qiymat, va u vektor moment, juft joylashgan tekkislikka perpendikulyar ravishda yo`nalgan bo`lib, uning uchidan qaraganimizda, juft kuch jismni soat strelkasiga teskari yo`nalishda aylantirayotganligini ko`rishimiz zarur, aks holda u manfiy ishora bilan belgilanadi (4.5 b shakl ).

4.5 a) shakl. 4.5 b) shakl.
Juftning momentini asosiy xususiyati shundaki, uni ixtiyoriy olingan nuqtalarga nisbatan momentlari bir biriga teng bo`ladi, shuning uchun juftning momentini qaysi nuqtaga nisbatan olinayotganligi belgilanmaydi (yuqoridagi formulaga etibor bering), yani

Buni isbot qilaylik (4.5 b shaklga qarang). Buning uchun O markazdan F₁ va F₂ kuchlar qo`yilgan A va V nuqtalarga radius vektorlar o`tkazaylik, va har bir kuchning vektor momentini alohida - alohida aniqlab, ularni qo`shaylik, yani

Lekin (shaklga qarang) bo`lgani uchun, buni yuqoridagi tenglamaga qo`yib, ixchamlashtirsak, quyidagini olamiz,





ekanligini etiborga olsak
ni hosil qilamiz, yani A va V nuqtalarning radius vektorlari yuqoridagi formulada umuman ishtirok etishmayabdilar, shularni etiborga olsak,

ni yozamiz, yani juftning momenti hamma nuqtalar uchun birxil son qiymatga ega ekanligini aniqladik.