Mavzu: Aktivlashtirilgan kompleksning og'irligi markazi kordinatasini topish. Reja

MUSTAQIL ISH

Mavzu: Aktivlashtirilgan kompleksning og'irligi markazi kordinatasini topish.

Bajardi: _______________________

Qabul qildi: ____________________

Mavzu:Aktivlashtirilgan kompleksning og'irligi markazi kordinatasini topish.


Reja:

1. Parallel kuchlarning markazini aniqlash.
2. Qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
3. Bir jinsli qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.
4. Bir jinsli oddiy geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
5. Bir jinsli murakkab geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.
6. Ba’zi bir murakkab figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.
7. Og'irlik markazini topish uchun mulohazalar

1.Parallel kuchlarning markazini aniqlash.


Parallel kuchlarning markazini aniqlash uchun quyidagi ikkita qoidani bajarilishi shart:

1. 
   Markazini aniqlanadigan parallel kuchlarni o`z tasir chiziqlari bo`yicha bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga ko`chirish mumkin emas, yani ularning qo`yilgan nuqtalari o`zgarmay qolishlari shart. Masalan og`irlik kuchlari shunday kuchlar guruhiga kiradilar.
   
2. 
   Markazini aniqlanadigan parallel kuchlarning son qiymatlari o`zgarmas bo`lishi shart, aks holda markazning o`rni muqim bo`lmay qoladi.
   
3. 
   Agar parallel kuchlarning modullari vaqt mobaynida o`zgaruvchan bo`lsa, ularning markazi bo`lgan S nuqtaning koordinatalri ham o`zgaruvchan funktsiyadan iborat bo`ladi.
   

Agar ushbu shartlar bajarilsa, harqanday parallel kuchlar sistemasi uchun shunday bir nuqta topish mumkinki, shu kuchlar sistemasini hohlagan tomonga burilganda ham u nuqta shu kuchlarning markazi bo`lib qolaveradi.
Nazariy mexanika fanida bu nuqtani lotincha S harfi bilan belgilash qabul qilingan bo`lib, lotincha centrum - doiraning markazi degan manoni anglatadi.
Endi yuqoridagi shartlar bajarilgan parallel kuchlar sistemasi uchun ularning markazini aniqlashni ko`rib chiqaylik.
Faraz qilaylik berilgan koordinata sistemalarining S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub>, S<sub>3</sub>, .............S<sub>N</sub> nuqtalariga modullari R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>, .................R<sub>N</sub> ga teng bo`lgan N - ta parallel kuchlar qo`yilgan bo`lsin, va bu kuchlar Oz o`qiga parallel ravishda yo`nalgan bo`lsinlar.
Har bir kuch qo`yilgan nuqtaning tegishli koordinatalari berilgan bo`lsin, ular tegishlicha S<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>), S<sub>2</sub>(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>,z<sub>2</sub>), S<sub>3</sub>(x<sub>3</sub>,y<sub>3</sub>,z<sub>3</sub>),............... S<sub>N</sub>(x<sub>N</sub>,y<sub>N</sub>,z<sub>N</sub>) larni tashkil etsin. Endi biz ularning teng tasir etuvchisi R - ning modulini aniqlaylik, bu juda oson masala bo`lib, u quyidagi bitta tenglama orqali aniqlanadi, yani


(1)
Varinon teoremasiga binoan, harqanday kuchlarning biror o`qqa nisbatan olingan momentlarining yig`indilari, shu kuchlarning teng tasir etuvchisini shu o`qqa nisbatan olingan momentiga teng. SHunga ko`ra quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi, yani



(2)
ushbu tenglamadan , xuddi shu kabi barcha kuchlarning momentlarini Ou o`qiga nisbatan olib, , ni aniqlaymiz.
Endi teng tasir etuvchining Oz o`qidagi koordinatasini aniqlash uchun, barcha kuchlarni o`z qo`yilgan nuqtalari atrofiga bir tomonga 90^o ga buramiz, va aytaylik ular Ou o`qiga parallel holiga keldilar, deb faraz qilib, shu kuchlarni yana bir marta Ox o`qiga nisbatan momentlarini olib, , ni ham aniqlaymiz.
SHunday qilib, biz harqanday parallel kuchlar sistemasining teng tasir etuvchisining qo`yilgan nuqtasining (markazining) koordinatalarini aniqlovchi formulalarni keltirib chiqardik, yani
, , va ,
(3)
larni keltirib chiqardik.


2.Qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.

Erning atrofida joylashgan harqanday zarrachaga ularning massalariga proportsional ravishda erning tortish kuchi, boshqacha aytganda og`irlik kuchlari tasir etadi. Umuman olganda zarrachalarning oralaridagi masofa katta bo`lsa, ushbu og`irlik kuchlarining yo`nalishlari bir birlariga parallel emas.

Lekin zarrachalar orasidagi masofa erning radiusiga nisbatan juda kichkina masofani tashkil etgan hollarda og`irlik kuchlarini o`zaro parallel deb qabul qilinadi. Ularning yo`nalishlari va modullari o`zgarmas bo`lganliklari uchun, harqanday qattiq jismning og`irlik markazlari o`zgarmas bo`ladi. Quyida shu nuqtalarni aniqlash bilan shug`ullanamiz.
Faraz qilaylik, N - zarrachalardan iborat qattiq jism berilgan bo`lsin, va har birining og`irlik kuchlari tegishlicha R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>, .................R<sub>N</sub> larga teng bo`lib, ularning koordinatalari tegishlicha S₁(x₁,y₁,z₁), S₂(x₂,y₂,z₂), S₃(x₃,y₃,z₃),............... S_N(x_N,y_N,z_N) dan iborat bo`lsin, u holda bu qattiq jismning umumiy og`irligi - R, quyidagi formuladan aniqlanadi, yani


(4)
ga teng bo`lsin.

Endi bu kuchlar parallel bo`lganliklari uchun ularning markazi, yani jismning og`irlik markazi yuqorida isbotlangan formulalar orqali aniqlanadi, yani

, , ,
(5)

Shunday qilib qattiq jismning og`irlik markazi , uning shunday bir nuqtasiki jismni qaysi tomnga aylantirishdan qatiy nazar uning umumiy og`irligining tasir chizig`i shu nuqtani albatta kesib o`tadi. Bu nuqtani yuqorida takidlaganimizdek lotincha S - harfi bilan belgilaymiz.

Bazi hollarda qattiq jismning og`irlik markazi joylashgan nuqta bo`shliqdan iborat bo`lishi ham mumkin, masalan halqaning og`irlik markazi uning geometrik markazi yani bo`shliqda yotadi. Boshqacha qilib aytganda qattiq jismning og`irlik markazi, bu shunday nuqtaki uning atrofidagi massalar shu nuqtaga nisbatan simmetrik ravishda joylangandirlar.
3. Bir jinsli qattiq jismlarning og`irlik markazlarini aniqlash.

Agar qattiq jism bir xil materialdan tayyorlangan bo`lsalar, ularning har bir qismining og`irligi, shu qismlarning hajmlariga to`g`ri proportsional bo`ladi. Masalan R<sub>1</sub>hV<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>hV<sub>2</sub> , R<sub>3</sub>hV<sub>3</sub> ................ R<sub>N</sub>hV<sub>N</sub> ga teng, va jismning umumiy og`irligi RhV teng bo`lib, bu erda V<sub>1</sub> ,V<sub>2</sub>, V<sub>3</sub> .......... V<sub>N</sub> lar qattiq jismning bo`laklarini hajmlari, V - qattiq jismning umumiy hajmi.  - jismni tashkil etgan moddaning solishtirma og`irligi.

Endi og`irlik kuchlarining ushbu qiymatlarini yuqoridagi formulaga qo`yib, surat va mahrajlarini  - ga qisqartirib yuborsak, quyidagi formulalarni olamiz, yani
, , , (6)

Agar qattiq jism bir xil qalinlikdan iborat plastinadan tayyorlangan bo`lsa, ushbu formulalardagi hajmlar yuzalarga proportsional bo`ladilar. SHu sababli

, , , (7)

bu erda S_k,- jism bo`laklarining yuzalari, S - jismning umumiy yuzasi.

Agar qattiq jism bir xil yo`g`onlikdagi simlardan tayrlangan bo`lsa, uning og`irlik markazi, bo`laklarining uzunliklariga proportsional ravishda aniqlanadilar, yani
, , , (8)

bu erda - lar jism bo`laklarining uzunliklari, L - jismning umumiy uzunligi. SHunday qilib, bir jinsli moddadan tayyorlangan qattiq jismlarning og`irlik markazlarini ularning bo`lakalrini hajmlari, yuzalari yoki uzunliklari orqali aniqlanar ekan.

4.Bir jinsli oddiy geometrik figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.

a) Doiraning, aylananing va sharning og`irlik markazi ularning geometrik markazida yotadi.

v) To`g`rito`rtburchak, parallelogramm, rombning og`irlik markazlari ularning diagonallarining kesishgan nuqtasida yotadi.
s) Uchburchak yuzali qattiq jismning og`irlik markazi medianalarining kesishgan nuqtalarida yotadi.
d) Simmetriya tekisligiga, yuzasiga, yoki o`qiga ega bo`lgan figuralarning og`irlik markazlari shu tekislikda, yuzada, o`qda yotadi.


5.Bir jinsli murakkab geometrik figuralarning og`irlik
markazlarini aniqlash.

Agar jism birnecha oddiy figuralarning birikmasidan iborat bo`lsa, u holda bu qattiq jismni bir necha oddiy figurali bo`laklarga ajratib yuboriladi. So`ngra har bir qismining og`irlik markazlarini koordinatalarini va ularning hajmlari yoki yuzalarini hisoblab chiqiladi, va yuqoridagi formulalardan birortasi orqali jismning umumiy og`irlik markazining koordinatalari x_c, y_c, z_c - lar hisoblanadi.

1shakl
Masalan (shakl 1) shaklda berilgan figura, aslida murakkab yuzani tashkil etadi, lekin uni uchta oddiy yuzaga ajratish mumkin, yani uchburchak, to`g`ri to`rtburchak va yarim doiralarga ajratib yuboramiz.
Koordinata o`qlarini tanlab olib, har bir oddiy figuraning og`irlik markazlarini koordinatalarini va ularning yuzalarini aniqlaymiz, so`ngra bularni yuqoridagi 7 formulaga qo`yib, jismning umumiy og`irlik markazini hisoblab chiqaramiz.
Lekin shunday xollar bo`lishi mumkinki, qattiq jism oddiy figuralarga ajralmasligi mumkin. Bunday masalalarni echish uchun integrallash usulidan foydalanamiz.
Faraz qilaylik bizga biror qattiq jism berilgan bo`lib, u oddiy figuralarga ajralmasin, u holda bu qattiq jismni elementar hajmchalarga, yuzachalarga yoki uzunliklarga bo`lib yuboramiz. YAni V - ni o`rniga dv, S - ni o`rniga ds, L - ni o`rniga dL qo`yamiz.
Summani o`rniga integrall belgisi qo`yiladi, chunki elementar hajm, yuza va uzunliklarni faqat integrall yordamida qo`shiladi. SHunga ko`ra quyidagi uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. hajm uchun
(9)
yuza uchun,


(10)
uzunlik uchun,


(11)
6. Ba’zi bir murakkab figuralarning og`irlik markazlarini aniqlash.

1.