Nazariy mexanika (2). pdf

_19-ma’ruza: KANONIK ALMASHTIRISHLAR

REJA:

• 
  Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasi
  
• 
  O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish
  
• 
  Yangi kanonik almashtirish formulasi
  

TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: Umumlashgan koordinatalar, fazo, Lagranj tenglamalari, funksiy, Gamilton tenglamalari, Kanonik almashtirishlar

Umumlashgan koordinatalarni tanlab olish biror shart bilan chegaralangan bo’lmaydi – istalgan S ta koordinatalar sistemaning fazodagi holatini bir qiymatli ravishda aniqlab beradi.

Lagranj tenglamalari bunday tanlab olishga bog’liq bo’lmaydi, shuning uchun bu

tenglamalar
q₁ , q₂ ,...
koordinatalardan istalgan o’zaro bog’liq bo’lmagan

Q₁ , Q₂ ,....
koordinatalarga o’tishga nisbatan invariant bo’ladi. Yangi ^Q

koordinatalar yeski ^q koordinatalar funksiyasi hisoblanadi. Faraz qilaylikki, ^Q
koordinatalar, shuningdek vaqtning ham funksiyasi hisoblansin, ya’ni

(1)

Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham bu almashtirishlarga nisbatan o’z ko’rinishlarini o’zgartirmaydi. endi bu yerda (1) almashtirishlarga
o’zaro bog’liq bo’lmagan ^R o’zgaruvchilarni ham kiritish lozim bo’ladi:

(2)

Shuni aytish kerakki, (2) almashtirishi ixtiyoriy ko’rinishida harakat teglamalarining o’z ko’rinishini o’zgartirmay qolaveradi. O’z ko’rinishlarini saqlab qolishi uchun

(3)

tengliklarning bajarilishi lozim bo’ladi. Bu yerda
H ^′(P,Q)
Gamiltonning biror

yangi funksiyasi. (3) almashtirishlar kanonik almashtirishlar deyiladi. Mumkin bo’lgan (3) almashtirishlardan (4) kanonik almashtirishlarni keltirib chiqarish uchun variasiyasiga murojaat qilamiz. Bu prinsipga ko’ra Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham kelib chiqadi. Buning uchun

sharti bajarilgani kabi, yangi o’zgaruvchilar
lar uchun ham

shartining bajarilmog’i zarur hisoblanadi. Bu ikki shart shu paytda ekvivalent bo’ladiki, agar integral ostidagi ifodalar bir-biridan biror ixtiyoriy F funksiyaning to’liq differensialiga farq qilsa, ya’ni