Oddiy differensial tenglamalar

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA
O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI
ANDIJON MASHINASOZLIK INSTITUTI
“Mashinasozlik texnologiyasi" Menejment yo’nalishi
1-bosqich K 79_21guruh talabasi
AKBARALIYEV UMIDJONning
“Oliy matematika” fanidan tayyorlagan
MUSTAQIL ISHI

Birinchi tartibli differensial tenglamalarni taqribiy integrallash

Oddiy differensial tenglamalarning asosiy tushunchalari

Erkli o`zgaruvchi x ni no`malum, y(x) funksiyani va uning n tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. y`(x)-birinchi, y``(x)-ikkinchi,

…y(n)(x)-n tartibli differensial tenglama deyiladi.Umumiy ko`rinishda n- tartibli differensial tenglama F=(x,y,y`,y``,…yn)=0 (1) ko`rinishda yoziladi.(1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi va kamida n marta differensiallanuvchi har qanday y=f(x) funksiya differensial tenglama yechimi deyiladi.

Masalan, y=e-x funksiya y`+y=0 differensial tenglama yechimi bo`lib, tenglamaning cheksiz ko`p yechimlaridan biridir. Har qanday y=c∙e-x funksiya ham, bu yerda, c- ixtiyoriy o`zgarmas, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu differensial tenglama yechilganda, uning yechimi y=c∙e-x ko`rinishdan boshqacha bo`lishi mumkin emasligi aniqlanadi.

Masalan, y=e-x funksiya y`+y=0 differensial tenglama yechimi bo`lib, tenglamaning cheksiz ko`p yechimlaridan biridir. Har qanday y=c∙e-x funksiya ham, bu yerda, c- ixtiyoriy o`zgarmas, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu differensial tenglama yechilganda, uning yechimi y=c∙e-x ko`rinishdan boshqacha bo`lishi mumkin emasligi aniqlanadi.

Shu uchun ham y=c∙e-x funksiya uning umumiy yechimi deyiladi. Umuiy yechimda ixtiyoriy o`zgarmas c qatnashgani uchun, tenglama yechimlari to`plami yagona ixtiyoriy c o`zgarmasga bog`liq deyiladi. O`zgarmas c ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy yechimlari kelib chiqadi. y''‘=0 differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mumkin:

Shu uchun ham y=c∙e-x funksiya uning umumiy yechimi deyiladi. Umuiy yechimda ixtiyoriy o`zgarmas c qatnashgani uchun, tenglama yechimlari to`plami yagona ixtiyoriy c o`zgarmasga bog`liq deyiladi. O`zgarmas c ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy yechimlari kelib chiqadi. y''‘=0 differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mumkin:

y'‘=c1, y`=c1x+c2, y=c1x2\2+c2x+c3.

Bunda,c1,c2 va c3 ixtiyoriy o`zgarmaslar bo`lib, ularning har qanday qiymatlarida y=c1x2\2+c2x+c funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va umumiy yechim bo`lib hisoblanadi. y''=0 differensial tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o`zgarmasga

Bunda,c1,c2 va c3 ixtiyoriy o`zgarmaslar bo`lib, ularning har qanday qiymatlarida y=c1x2\2+c2x+c funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va umumiy yechim bo`lib hisoblanadi. y''=0 differensial tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o`zgarmasga

bog`liq va o`zgarmaslar har birining konkret qiymatlarida xususiy yechim hosil bo`ladi.

Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy F(x;y;y`)=0 yoki y`hosilaga nisbatan yechilgan y`=f(x;y) (2) ko`rinishda yozilishi mumkin. Ushbu tenglamalar ham, odatda, cheksiz ko`p yechimga ega bo`lib, ulardan biror bir xususiy yechimni ajratib olish qo`shimcha shartni talab etadi.

Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy F(x;y;y`)=0 yoki y`hosilaga nisbatan yechilgan y`=f(x;y) (2) ko`rinishda yozilishi mumkin. Ushbu tenglamalar ham, odatda, cheksiz ko`p yechimga ega bo`lib, ulardan biror bir xususiy yechimni ajratib olish qo`shimcha shartni talab etadi.

Ko`p hollarda ushbu shart Koshi masalasi shaklida qo`yiladi. Koshi masalasi y`=f(x;y) differensial tenglamaning y\x=x0=y0 boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat.

Teorema. Agar f(x;y) funksiya boshlang`ich (x0;y0) nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz ∂f\∂y xususiy hosilaga ega bo`lsa, u holda (x0;y0) nuqtaning shunday bir atrofi mavjudki, ushbu atrofda y`=f(x;y) differensial tenglama uchun y\x=x0=y0 boshlang`ich sharti Koshi masalasi yechimi mavjud va yagonadir.

Teorema. Agar f(x;y) funksiya boshlang`ich (x0;y0) nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz ∂f\∂y xususiy hosilaga ega bo`lsa, u holda (x0;y0) nuqtaning shunday bir atrofi mavjudki, ushbu atrofda y`=f(x;y) differensial tenglama uchun y\x=x0=y0 boshlang`ich sharti Koshi masalasi yechimi mavjud va yagonadir.

O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.

y`=P(x)-q(y) yoki dy\dx=P(x)∙q(x) (3)

No`malum funksiya y ning qaralayotgan o`zgarish sohasida

q(y) ≠0 shart bajariladi deb, (3) tenglamani o`zgaruvchilari ajralgan. dy\q(y)=P(x)∙dx shaklda yozamiz va ikkkala qismini integral-

lab,

tenglikni olamiz.