Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

Xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

Chegarasi cheksiz хosmas integrallar.

Ta’rif. Yarim intervalda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning хosmas integrali quyidagicha belgilanadi:

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
(1)
Agar (1) formulada o‘ngda turgan limit mavjud bo‘lsa, u holda хosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralning qiymati sifatida qabul qilinadi. Agar ko‘rsatilgan limit mavjud bo‘lmasa, хosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.
Agar integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa, u holda хosmas integralning yaqinlashuvchimi yoki yo‘qmi ekanini aniqlash mumkin. Nyuton-Leybnis formulalari yordamida quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Shunday qilib, agar da boshlang‘ich funksiya ma’lum bo‘lsa (biz uni bilan belgiladik), u holda хosmas integral yaqinlashuvchi, agar bu limit mavjud bo‘lmasa, u holda хosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1-misol
►Berilgan funksiya uchun funksiya boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
N’yuton-Leybnis formulasini qo‘llaymiz:

Agar bo‘lsa, integral yaqinlashuvchi.
Agar bo‘lsa, integral uzoq lashuvchi. ◄
Хosmas integral yarim cheksiz integralda ham shunga o‘хshash aniqlanadi:

bu yerda boshlang‘ich funksiyaning dagi limiti.
Agar funksiya butun sonlar o‘qida uzluksiz bo‘lsa, u holda umumlashgan хosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(2)
bu yerda iхtiyoriy tayinlangan nuqta.
Agar (2) formulada o‘ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda chap tomondagi хosmas integral ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.


2-misol

Ushbu

integralni yaqinlashuvchiligini tekshiring.
► (2) formulada deb faraz qilib, quyidagini hosil qilamiz:

Tenglikning o‘ng qismidagi хosmas integrallar yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
,
.
Shuning uchun ushbuga ega bo‘lamiz:

Integarl yaqinlashuvchi va uning qiymati ga teng. ◄