Almashtirishlarning kanoniklik alomati. 1. Ikkita unitar almashtirishlarning ko‘paytmasi yana unitar almashtirish bo‘lishini isbotlang. Yechish. Xuddi shu kabi tenglik ham o‘rinli. 2. Xar qanday unitar almashtirish o‘lchamli Yevklid fazosida skalyar ko‘paytmani saqlashini isbotlang. Va aksincha, skalyar ko‘paytmani saqlovchi xar qanday chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘lishini ko’rsating. Yechish. Agar bo‘lsa, u holda Agar xar qanday va vektorlar uchun bo‘lsa, u holda Bichiziqli formalarning tengligidan mos almashtirishlar tengligi kelib chiqadi, shuning uchun ya’ni unitar almashtirish. 3. Unitar almashtirishning xos sonlari moduli nimaga teng? 4. vektor unitar chiziqli almashtirishning xos vektori bo‘lsin. to‘plam almashtirishga nisbatan o‘lchamli invariant qism fazo tashkil qilishini ko’rsating.
5. o‘lchamli Yevklid fazosidagi unitar chiziqli almashtirish ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega bo’lishini isbotlang.
6. Berilgan А ortogonal matritsaning shartni qanoatlantiruvchi В ni kanonik ko’rinishini va С orthogonal matritsalarini toping.
Yechish. Ushbu tenglamani qaraymiz:
Bundan quyidagi tenglamani olamiz:
(λ–1)(λ2–λ+1) = 0
Bu tenglamani uchta λ1 = 1 va ildizlarini hosil qilamiz. Bu sonlar А matritsaning xos sonlarini tashkil etadi.
Bizga ma’lumki, Yevklid fazosida berilgan ixtiyoriy orthogonal chiziqli almashtirish uchun shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda chiziqli chiziqli almashtirishni quyidagicha yozish mumkin:
Endi ortonormal bazisni topamiz. Buning uchun e1, e2, e3 bazisni ortonormal f1, f2, f3 bazisga o’tkazuvchi С matritsani topamiz.
λ1 = 1 xos son uchun bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib xos vektorni topamiz. Bendan ni hosil qilamiz. Huddi shunday А matritsaning λ2 va λ3 xos sonlariga mos ravishda va vektorlarini topamiz.
Demak
Bulardan tenglik bajarilishini oson tekshirish mumkin.
Berilgan А matritsaga shartni qanoatlantiruvchi В diagonal va С unitar matritsalarni toping.
tezlik bilan aylanganda bu kuchdar jismga quyilgan aktiv kuchlardan ham kattalashib ketishi mumkin. Aylanma harakat qiluvchi qismi bor qurilmalarda bunday kuchlarning paydo bo’lishi zararli va xavflidir. Katta tezliklarda bu kuchlar bog’lanishlarning sinishiga, turli xil avariyalarning kelib chiqishiga sabab bo’lishi mumkin, Aylanma harakat davomida bunday kuchlarning paydo bo’lmasligi qurilmalarning ravon ishlashini ta’minlaydi. (11.12) tenglamalardan ko’rinadiki, agar aylanish o’qi jismning massalar markazidan o’tsa (bunda
