Yuzalarni integral yordamida hisoblash

YUZALARNI INTEGRAL YORDAMIDA HISOBLASH

1-misol. у=4х-х², х=3, у=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang. (1-chizma).

1-chizma.

Yechish. (42.1) formuladan foydalanib topamiz.



2-misol. у=х²-3х, у=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang (151-chizma).

1-chizma. 2-chizma.

Yechish. (42.2) formulaga binoan topamiz:



3-misol. 0≤х≤2π bo’lganda у=cosx kosinusoida va 0х o’q bilan chegaralangan figuraning yuzi topilsin (152-chizma).

Yechish. da , da da cosx≥0 ekanligini hisoblaga olib (42.2) formulaga asoslanib topamiz.

4-misol. parobalalar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin (1-chizma).

1-chizma.

Yechish. Integrallash chegaralari а va b ni hamda tenglamalarni birgalikda yechib, ularning kesishish nuqtalari N va M nuqtalarni abssissalarini aniqlash orqali topiladi.

Demak, а=-2, b=2. (42.3) formulaga binoan topamiz:



. (42.5)

Bu esa parametrik ko’rinishdagi tenglamalari yordamitda berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash formulasidir.

5-misol. x=acos³t, y=asin³t astroida (1-chizma) bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.

Yechish. t uchun integrallash chegaralarini x=acos³t tenglamadan topamiz:

х=0 da acos³t=0 cost=0, t= ,

х=а da acos³t=a cost=0, t=1

Astroidani koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak 155-chizmadagi shtrixlangan yuz izlanayotgan yuzning to’rtdan birini tashkil etadi. Shuning uchun (42.5) formulaga binoan astroida bilan chegaralangan figura yuzining to’rtdan biri uchun quyidagiga ega bo’lamiz.

Bundan

6-misol. Dekart yaprog’i sirtmogining yuzini hisoblang (1-chizma)

1-chizma.

Yechish.

Koordinatalar boshida egri chiziq o’zini o’zi kesadi, ya‘ni koordinatalar boshi egri chiziqning maxsus (qaytish)nuqtasidir. Egri chiziq bu nuqtadan t=0 da va t=∞ bo’lganda o’tadi, ya‘ni integrallash chegaralari 0 va ∞ ga teng. Shuning uchun: