§. eseli integrallar

2-mısal

. Keńislikte 0

4

2

2









z

y

x

 betlik hám 

0



z

 tegislik penen 

shegaralanǵan denenıń kólemin tabıń.  

◄ 

Bul dene 43-sızılmada keltirilgen bolıp, 

D

– XoY  tegislikteǵi 4

2

2



 y

x

 

dóńgelekten ibarat.  

 

318

 

43-sızılma 

Betliktıń teńlemesin 

2

2

4

y

x

z







 kórniste jazıp, (4) formuladan 

paydalanıp   

dxdy

y

x

V

D









)

4

(

2

2



, 

 

   (5) 

 bunda  





4

:

)

,

(

2

2

2









y

x

R

y

x

D

, 

(5) integralda ózgeriwshilerdi 















sin

,

cos

r

y

r

x

 almastırıp esaplasaq 

2

2

2

4

4

r

y

x









, 

r

r

J



)

,

(



, 2

0



 r

 , 





2

0





, 



 



























2

0

2

0

4

2

2

0

2

0

2

2

2

8

)

4

2

(

)

)

4

(

(

)

4

(

d

r

r

d

rdr

r

dxdy

y

x

D

. 

Demek, denenıń kólemi 





8



V

 teń. 

Betliktıń maydanı.

 Meyli tegislikte maydanǵa iye bolǵan  D  kóplikte 

)

,

( y

x

f

z



 funkciya berilgen bolıp, ol usı kóplikte úzliksiz 

)

,

( y

x

f

x



, )

,

( y

x

f

y



 

tuwındılarǵa iye bolsın. Bul funkciyanıń grafigi 

3

R  keńislikte  S  betlik (44–

sızılma) ańlatılǵan. 

4

0

y

2

2

x

z

 

319

 

44– sızılma 

Bunday betliktıń maydan túsinigi hám onı eki eseli integral arqalı   









 

dxdy

y

x

f

y

x

f

S

D

y

x













,

,

1

2

2



   (6) 

tabıladı. 

3-mısal

. Tiykarınıń radiusı 

r

, biyikligi  h  ǵa teń dóńgelek konustıń qaptal 

betin tabıń.  

◄ 

Konus betlik 

2

2

y

x

r

h

z





 teńleme menen ańlatıladı. (6) formulaǵa 

kóre konustıń qaptal beti  

dxdy

y

x

z

y

x

z

S

D

y

x













2

2

2

2

))

,

(

(

))

,

(

(

1



 

 boladı, bunda  

}

:

)

,

{(

2

2

2

2

r

y

x

R

y

x

D









. 

 Eger  

2

2

y

x

x

r

h

z

x







, 

2

2

y

x

y

r

h

z

y







, 

4

 

y

 

z

x

 

S

 

0

 

 

320

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

))

,

(

(

))

,

(

(

1

r

h

y

x

x

r

h

y

x

x

r

h

z

z

k

k

y

k

k

x































 

bolsa, onda 

2

2

2

2

2

2

1

1

h

r

r

dxdy

x

h

dxdy

x

h

S

D

D





















 

boladı. ► 

Eki eseli integraldıń mexanikada qollanıwları 

Meyli tegislikte massaǵa iye bolǵan materiallıq  D  figuranıń hár bir 

D

y

x



)

,

(

 noqatında tıǵızlıǵı 

)

,

( y

x



 bolıp, ol  D  úzliksiz bolsın.  D  figuranıń 

massasın tabamız. 

Eger 

c

y

x



)

,

(



const



 bolsa, onda  D  figuranıń massası 

D

C

m





 teń 

boladı. Eger 

)

,

( y

x



 qálegen 





n

k

,..

2

,

1



 úzliksiz funkciya bolsa, onda  D  

figuranıń massasın tabıw ushın  D  nıń 

}

,...,

,

{

2

1

n

D

D

D

P



 bólekleniwi hám hár bir 

k

D  da 





n

k

,..

2

,

1



 qálegen 

)

,

(

k

k





 noqatın alamız 

k

k

k

D



)

,

(





. Hár bir 

k

D  da 

)

,

( y

x



 turaqlı hám onı 

( , )

k

k

  

 ǵa teń bolsa, onda 

k

D

 nıń massası 

k

k

k

D









)

,

(

 

ǵa teń bolıp,  D  figuranıń massası  





n

k

k

k

k

D

1

)

,

(









   

 

 

 

(7) 

teń boladı.  P  bólekleniwdıń diametri 

0



p



 da (7) qosındıniń limiti  D  figuranıń 

massasın ańlatadı. (7) qosındı 





y

x,



 funkciyanıń integral qosındısı hám 





y

x,



 

funkciya  D  úzliksiz bolǵanlıǵı sebebli bul qosındıniń limiti 



D

dxdy

y

x )

,

(



 

boladı. Demek,  D  figuranıń massası 





D

dxdy

y

x

m

)

,

(



 

 

 

 

 

 

(8) 

teńlik penen anıqlanadı. 

4-mısal.

 Tegislikte 

a

 radiuslı dóńgelekli plastinka berilgen bolıp, onıń hár 

bir 





y

x

A ,

 noqattaǵı  tıǵızlıǵı usı noqattan koordinatalar basına shekem bolǵan 

aralıq proporcional. Dóńgelekli plastinkanıń massasın tabıń. 

 

321

◄ 

Dekart koordinatalar sistemasınıń koordinatalar basına dóńgelekli 

plastinkanıń orayın jaylastıramız. Onda plastinkanıń 





y

x

A ,

 noqatınan 

koordinatalar basına shekem bolǵan aralıq 

2

2

y

x

d





 bolıp, plastinka tıǵızlıǵı 





2

2

,

y

x

k

y

x







 

boladı, bunda  k – proporcionallıq koefficenti. (8) formulaǵa kóre plastinka massası 







D

dxdy

y

x

k

m

2

2

 

boladı, bunda 









2

2

2

2

:

,

r

y

x

R

y

x

D









. Eki eseli integralda 















sin

,

cos

r

x

r

x

 

almastırıwdı orınlap, onı esaplaymız 



 



















































2

0

3

0

3

2

0

0

2

2

3

2

3

a

k

d

r

k

d

rdr

r

k

dxdy

y

x

k

m

a

a

D

. ► 

Eki eseli integrallar járdeminde statistikalıq momentler 









D

x

dxdy

y

x

yp

M

,

,  (Ox  kósherine qarata), 









D

y

dxdy

y

x

xp

M

,

, (Oy  kósherine qarata) 

awırlıq orayınıń koordinataları 







D

D

xdxdy

dxdy

x

1

0

,  







D

D

ydxdy

dxdy

y

1

0

, 

inerciya momentleri 









D

x

dxdy

y

x

p

y

J

,

2

, (Ox  kósherine qarata), 









D

y

dxdy

y

x

p

x

J

,

2

, (Oy  kósherine qarata) 















D

dxdy

y

x

p

y

x

J

,

2

2

0

 (koordinatalar basına qarata) 

tabıladı.