§. eseli integrallar



Yüklə 300 Kb.
Pdf görüntüsü
səhifə5/5
tarix22.06.2020
ölçüsü300 Kb.
#32093
1   2   3   4   5
Eki eseli integral


2-mısal

. Keńislikte 0

4

2

2







z

y

x

 betlik hám 

0



z



 tegislik penen 

shegaralanǵan denenıń kólemin tabıń.  



◄ 

Bul dene 43-sızılmada keltirilgen bolıp, 



D

– XoY  tegislikteǵi 4

2

2



 y

x

 

dóńgelekten ibarat.  



 

318

 

43-sızılma 



Betliktıń teńlemesin 

2

2



4

y

x

z



 kórniste jazıp, (4) formuladan 

paydalanıp   

dxdy

y

x

V

D





)



4

(

2



2



 

   (5) 


 bunda  



4

:

)



,

(

2



2

2





y

x

R

y

x

D

(5) integralda ózgeriwshilerdi 







sin


,

cos


r

y

r

x

 almastırıp esaplasaq 

2

2

2



4

4

r



y

x





r

r

J

)



,

(



, 2

0



 r

 , 


2



0



 













2

0



2

0

4



2

2

0



2

0

2



2

2

8



)

4

2



(

)

)



4

(

(



)

4

(



d

r

r

d

rdr

r

dxdy

y

x

D

Demek, denenıń kólemi 



8





V

 teń. 


Betliktıń maydanı.

 Meyli tegislikte maydanǵa iye bolǵan   kóplikte 

)

,

y



x

f

z

 funkciya berilgen bolıp, ol usı kóplikte úzliksiz 



)

,

y



x

f

x

, )



,

y



x

f

y

 



tuwındılarǵa iye bolsın. Bul funkciyanıń grafigi 

3

 keńislikte   betlik (44–

sızılma) ańlatılǵan. 

4

0



y

2

2



x

z

 

319

 

44– sızılma 



Bunday betliktıń maydan túsinigi hám onı eki eseli integral arqalı   



 



dxdy

y

x

f

y

x

f

S

D

y

x







,

,



1

2

2



   (6) 


tabıladı. 

3-mısal

. Tiykarınıń radiusı 



r

, biyikligi   ǵa teń dóńgelek konustıń qaptal 

betin tabıń.  

◄ 

Konus betlik 

2

2

y



x

r

h

z



 teńleme menen ańlatıladı. (6) formulaǵa 

kóre konustıń qaptal beti  



dxdy

y

x

z

y

x

z

S

D

y

x







2

2



2

2

))



,

(

(



))

,

(



(

1



 

 boladı, bunda  

}

:

)



,

{(

2



2

2

2



r

y

x

R

y

x

D





 Eger  

2

2



y

x

x

r

h

z

x



2



2

y

x

y

r

h

z

y



4



 

y

 

z



x

 

S

 

0

 



 

320

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

1



1

))

,



(

(

))



,

(

(



1

r

h

y

x

x

r

h

y

x

x

r

h

z

z

k

k

y

k

k

x











 

bolsa, onda 



2

2

2



2

2

2



1

1

h



r

r

dxdy

x

h

dxdy

x

h

S

D

D











 



boladı. ► 

Eki eseli integraldıń mexanikada qollanıwları 

Meyli tegislikte massaǵa iye bolǵan materiallıq   figuranıń hár bir 



D

y

x

)



,

(

 noqatında tıǵızlıǵı 



)

,

y



x

 bolıp, ol   úzliksiz bolsın.   figuranıń 



massasın tabamız. 

Eger 


c

y

x

)



,

(



const

 bolsa, onda   figuranıń massası 



D

C

m



 teń 

boladı. Eger 

)

,

y



x

 qálegen 





n



k

,..


2

,

1



 úzliksiz funkciya bolsa, onda   

figuranıń massasın tabıw ushın   nıń 

}

,...,



,

{

2



1

n

D

D

D

P

 bólekleniwi hám hár bir 



k

 da 



n

k

,..


2

,

1



 qálegen 

)

,

(



k

k



 noqatın alamız 

k

k

k

D

)



,

(



. Hár bir 



k

 da 

)

,



y

x

 turaqlı hám onı 



( , )

k

k

  


 ǵa teń bolsa, onda 

k

D

 nıń massası 



k

k

k

D



)



,

(

 



ǵa teń bolıp,   figuranıń massası  



n

k

k

k

k

D

1

)



,

(





   

 

 



 

(7) 


teń boladı.   bólekleniwdıń diametri 

0



p

 da (7) qosındıniń limiti   figuranıń 



massasın ańlatadı. (7) qosındı 



y

x,

 funkciyanıń integral qosındısı hám 





y



x,

 



funkciya   úzliksiz bolǵanlıǵı sebebli bul qosındıniń limiti 



D



dxdy

y

)

,

(



 

boladı. Demek,   figuranıń massası 







D



dxdy

y

x

m

)

,



(

 



 

 

 



 

 

(8) 



teńlik penen anıqlanadı. 

4-mısal.

 Tegislikte 



a

 radiuslı dóńgelekli plastinka berilgen bolıp, onıń hár 

bir 





y

x

,

 noqattaǵı  tıǵızlıǵı usı noqattan koordinatalar basına shekem bolǵan 

aralıq proporcional. Dóńgelekli plastinkanıń massasın tabıń. 


 

321

◄ 

Dekart koordinatalar sistemasınıń koordinatalar basına dóńgelekli 

plastinkanıń orayın jaylastıramız. Onda plastinkanıń 



y

x

,

 noqatınan 

koordinatalar basına shekem bolǵan aralıq 

2

2



y

x

d



 bolıp, plastinka tıǵızlıǵı 



2

2

,



y

x

k

y

x



 

boladı, bunda  – proporcionallıq koefficenti. (8) formulaǵa kóre plastinka massası 







D

dxdy

y

x

k

m

2

2



 

boladı, bunda 





2

2



2

2

:



,

r

y

x

R

y

x

D



. Eki eseli integralda 







sin


,

cos


r

x

r

x

 

almastırıwdı orınlap, onı esaplaymız 



 
























2

0



3

0

3



2

0

0



2

2

3



2

3

a



k

d

r

k

d

rdr

r

k

dxdy

y

x

k

m

a

a

D

. ► 


Eki eseli integrallar járdeminde statistikalıq momentler 







D



x

dxdy

y

x

yp

M

,

,  (Ox  kósherine qarata), 









D

y

dxdy

y

x

xp

M

,

, (Oy  kósherine qarata) 



awırlıq orayınıń koordinataları 









D

D

xdxdy

dxdy

x

1

0



,  









D

D

ydxdy

dxdy

y

1

0



inerciya momentleri 









D

x

dxdy

y

x

p

y

J

,

2



, (Ox  kósherine qarata), 







D



y

dxdy

y

x

p

x

J

,

2



, (Oy  kósherine qarata) 









D



dxdy

y

x

p

y

x

J

,

2



2

0

 (koordinatalar basına qarata) 



tabıladı. 

 

 

Yüklə 300 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin