§. eseli integrallar



Yüklə 300 Kb.
Pdf görüntüsü
səhifə4/5
tarix22.06.2020
ölçüsü300 Kb.
#32093
1   2   3   4   5
Eki eseli integral


◄ 

V

 nıń  XOY  tegisliktegi proekciyası  

}

:

)



,

{(

2



2

2

2



h

y

x

R

y

x

D



 



boladı. (3) formuladan paydalansaq 























D

D

h

y

x

dxdy

y

x

h

dxdy

dz

z

J

2

3



2

2

3



2

3

1



3

2

2



Bul integralda 







sin


,

cos


r

y

r

x

 

almastırıp, esaplasaq 



 

















2

0



5

0

3



3

5

1



3

1

3



h

d

rdr

r

h

J

h

. ► 


 

17.4. Úsh eseli integrallarda ózgeriwshilerdi almastırıw

 

 



Meyli 



z

y

x

f

,

,



 funkciya 

3

R



V

 kóplikte berilgen hám úzliksiz bolsın. 



Meyli 











w

v

u

z

w

v

u

y

w

v

u

x

,

,



,

,

,



,

,

,





 

sistema 


3

R



 kóplikti  kóplikke sáwlelendiredi. Onda 



 


 










dudvdw

J

w

v

u

w

v

u

w

v

u

f

dzdydz

z

y

x

f

V

,

,



,

,

,



,

,

,



,

,



 



 

312

boladı, bunda 



dw

dz

dv

dz

du

dz

dw

dy

dv

dy

du

dy

dw

dx

dv

dx

du

dx

J

 



boladı. 

а) Dekart koordinataları 



z

y

,

,

  cilindrlik koordinatalar 



z

p

,

,



 ǵa ótiw 

cos


p

x



sin


p

y



z

z

 , 














z

p

,

2



0

,

0



 formulalar járdeminde ámelge 



asırıladı (45-sızılma). 

 

 



45-sızılma 

 

Bul almastırıwdıń yakobian 



p

J

  bolıp, 







dz

pdpd

z

p

p

f

dxdydz

z

y

x

f

V










,

sin


,

cos


,

,

 



boladı. 



y

 

z

x

 

0



 

p

y

 

313

 

46-sızılma 



б) Dekart koordinataları 

z

y

,

,

 sferalıq koordinatalar 



,



,

p

 ǵa ótiw 



cos



sin

 p



x



sin


sin

 p



y



cos

p

z

 













0

,



2

0

,



p

 formulalar arqalı ámelge asırıladı (46-

sızılma) almastırıw yakobianı 

sin



2

p

J

 bolıp,  











d

dpd

p

p

p

p

f

dxdydz

z

y

x

f

V

V

sin


cos

,

sin



sin

,

cos



sin

,

,



2






 



boladı. 

3-mısal.

 





V

zdzdydz  integraldı esaplań. Bunda  tómendegishe 



0

2

2



2

2

2





h

h

z

r

y

x

 

konustıń joqarı bólegi hám 



h

z

  tegislik penen shegaralanǵan kóplik. 



◄ 

Berilgen integralda ózgeriwshinı  

cos


p

x



sin


p

y





y

 

z



x

 

0



 

p

 



 

314

z

z

  


almastıramız 

p

r

h

z

h

z

r

p

h

z

r

y

x





2



2

2

2



2

2

2



2

2











0

,

2



0

,

0



r

p

Nátiyjede 



dp

d

pzdz

zdxdydz

r

h

p

r

h

V

  


















0

2



0



 

boladı. Keyingi integraldı  





























 



 



r

r

h

z

p

r

h

z

dp

pd

p

r

h

h

dp

d

z

p

0

2



0

2

2



2

2

0



2

0

2



2

2

2





 



4

2



2

2

0



2

2

0



2

2

2



2

2

r



h

p

h

pdp

p

r

r

r

h

r

r















Demek, 


4

2

2



r

h

J



. ► 

4-mısal.

 








V

dxdydz

z

y

x

J

2

2



2

 integraldı esaplań, bunda –  

2

2

2



2

r

z

y

x



 

shardan ibarat. 



◄ 

Bul integralda 



cos



sin

p

x



sin



sin

p

y



cos


p

z

 



almastırıp tabamız. Onda 

2

2



2

2

p



z

y

x



,  


sin


2

p

J

 bolıp, 









0

,



2

0

,



0

r

p

 

boladı. Nátiyjede berilgen integral  



 

315



  
















r

V

dp

d

d

p

p

dxdydz

z

y

x

J

0

0



2

0

2



2

2

2



2

sin




 



bolıp, bunnan 



5

4

4



2

sin


sin

5

0



4

0

0



4

0

0



2

0

4



r

dp

p

dp

d

p

dp

d

d

p

r

r

r























 



  

Demek, 



5

4

5



r

J



. ► 

 

17.5. Eseli integraldıń qollanıwları 

 

Tegis figuranıń maydanı. Tegislikte maydanǵa iye bolǵan   figura berilgen 

bolsın. Bul figuranıń maydanı  

 





D

dxdy

D

 



  

 

 



 

    (1) 


boladı.  

Mısal

. Tegisliktıń birinshi shereginde  



ax

y

x

2

2



2





ax

y

2

2





a



2

 



(

`

0





a

sızıqlar menen shegaralanǵan figuranıń maydanın tabıń. 



◄ 

Bul figura 42-sızılmada keltirilgen. 

 

42-sızılma 



x

 

0



 

a

a

2

 



y

 

D



 

316

(1) formuladan figuranıń maydanı  





D



dxdy

D

  



bolıp, bunda 



ax

y

x

ax

a

x

R

y

x

D

2

2



,

2

0



:

)

,



(

2

2







. Integraldı 

esaplap 











a

a

ax

x

ax

a

a

a

dx

x

ax

ax

dx

dy

D

2

0



2

0

2



2

2

2



2

2

6



3

16

2



3

8

)



2

2

(



)

(

2





. ► 

 Denenıń kólemi

3



 keńislikte Dekart koordinatalar sistemasında jaylasqan  

 deneni qaraymız. Bul dene joqarıdan )

,

y



x

f

z

 betlik, qaptal tárepten 



jasawshıları  Oz  kósherine parallel cilindrlik betlik hám tómennen 

Y

0  

tegisliginde shegaralanǵan tuyıq   kóplik penen shegaralanǵan dene bolsın. 

Bunda )

,

y



x

f

 funkciyanı 



D

 da úzliksiz dep qaraymız.  



 kópliktıń 



n

D

D

D

P

,..


,

2

1



 bólekleniwin alayıq. Onda  



k



k

D

y

x

y

x

f

m



)

,

(



:

)

,



(

inf




k

k

D

y

x

y

x

f

M



)

,

(



:

)

,



(

sup


 

bar boladı boladı. Bunda 





n

k

k

k

D

m

A

1







n



k

k

k

D

M

B

1



 

qosındılar sáykes túrde  deneniń ishine jaylasqan   kópjaqlınıń kólemi,  



deneni óz ishine alǵan   kópjaqlınıń kólemi bolıp,  

B

A



 

boladı.   kóplikti túrli bólekleniwler nátiyjesinde payda bolǵan 



 

A

 hám 



 

B

 



kópliklerdıń shegaralanǵanlıǵınan 

 


A

sup



 


B

inf



 lardıń bar bolıwınan kelip 

shıǵadı. )

,

y



x

f

 funkciya tuyıq   kóplikte úzliksiz. Demek, ol   da teń ólshewli 

úzliksiz. Onda 

0



 alǵanda hám sonday 



0



 tabılıp,   kópliktnıń 





p

 

bolǵan qálegen  





n



D

D

D

P

,..


,

2

1



 

bólekleniwi ushın hár bir 



k

 da (

n

k

,...


3

,

2



,

1



) funkciyanıń terbeliwi  

D

m

M

k

k



 



 

317

teńsizlikti qanaatlandıradı. Usılardı esarqa alıp   

 

 


.

)

(



inf

1

1



1























D

D

D

D

D

m

M

D

m

D

M

A

B

A

Sup

B

k

k

n

k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

 

Demek,  



 

 






A

B

sup


inf

0



Keyingi qatnastan 

 


 

A

B



sup

inf


 

 



kelip shıǵadı. Bunnan  dene kólemge iye bolıp hám onıń kólemi  V

 nıń  



 

 


A

B

V



sup


inf



 

    (2) 


ekenligin bildiredi. Bunnan 

 






D



dxdy

y

x

f

B

)

,



(

sup


 







D

dxdy

y

x

f

A

)

,



(

inf


 

hám (2) teńlikke kóre 















D

D

D

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

dxdy

y

x

f

)

,



(

)

,



(

)

,



(

  

 



(3) 

boladı. (2) hám (3) den 





D



dxdy

y

x

f

V

)

,



(

   



 

 

 



   (4) 

kelip shıǵadı.  



Yüklə 300 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin