§ Populyatsiya rivojlanishining modellari Populyatsiya

4.4. Verxulst modelining nazariy tadbiqi
Matematik model (3) 1-tartibli differensial tenglamadir. Tenglamani o'zgartiring: o'zgaruvchini almashtirib va uni (3) tenglamaga qo'yib, quyidagi o'zgarishlar zanjirini bajaramiz.

Oxirgi tenglama allaqachon ajratilgan o'zgaruvchilarga ega tenglama bo'lib, uning yechimi ikkala qismni integrallash orqali topiladi.




Oxirgi formula (3) matematik modelning umumiy yechimini aniqlaydi, ekanligini hisobga olib, undan ma’lum bir yechim topamiz.

Umumiy yechimga ni almashtirib, formulani olamiz



(4)

matematik modelning (3) xususiy yechimi bo'lib, undan kelib chiqadiki, aholi hajmi vaqt o'tishi bilan eksponent o'zgaradi, uning qiymati r, k, kirish ma'lumotlariga bog'liq.

Formulani (4) differensiya qilib, biz aholining o'zgarish tezligini aniqlaydigan formulani olamiz.

(5)

Olingan formula (5) yordamida N(t) ning harakatini tahlil qilaylik:
- uchun, ya’ni uchun tezlikning qiymati 0 ga teng.
- bo‘lganda hosila , demak N(t) funksiyasi, ya’ni populyatsiya hajmi kamayadi:
3) uchun hosila , demak N(t) funksiyasi, ya’ni populyatsiya soni ortadi.
Populyatsiyaning N(t) hajmi qay darajada kamayishi yoki ko'payishi mumkinligini aniqlaymiz. Buning uchun uning chegarasini t→∞ deb hisoblaymiz.

Oxirgi ifodadan kelib chiqadiki, to‘g‘ri chiziq (4) formula bilan aniqlangan N(t) funksiya grafigi uchun asimptotadir. N(t) sonining boshlang'ich sonining turli qiymatlari uchun vaqtga bog'liqligi grafiklari rasmda ko'rsatilgan. Birinchi va ikkinchi holatda ham populyatsiya hajmi N(t) barqarorlashadi, ya'ni r/k qiymatiga yaqinlashib, doimiy bo'lib qoladi, lekin bo'lgan holatda barqarorlikka turli yo'llar bilan erishiladi. N(t) kamayadi, bo'lgan holatda N(t) soni ortadi. qiymati atrof-muhit sig'imi deb ataladi, u raqobat mavjud bo'lganda eng katta va eng kichik aholi sonini aniqlaydi.

64 -rasm- Aholi rivojlanishining grafik modellari