1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish
Yüklə 203,42 Kb.
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2 .1 - misol.
- 3-§. Fredholm teoremalari
- Chiziqli fazolar va ularga misollar
- Chiziqli fazoning qism fazosi
keluvchi barcha xos funktsiyalarga ortogonal bo’lishi etarli va zarurdir. Bu holda (1.9) tenglama echimlarining soni cheksizdir. 2-§. Chiziqli integral tenglamalarni yechish Bu paragrafda chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalarni qaraymiz.
integral tenglama berilgan. Parametr soni xos qiymat bo’ladi
ortogonal bo’lishi zarur va yetarli. Demak, (2.9) tenglama yechimga ena bo’lishi uchun shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (2.3) belgilashdan foydalansak, (2.9) Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sifatida ixtiyoriy soni olish mumkin. Bu qiymatlarni (2.11) ga qo’yib, (2.9) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz. 3-§. Fredholm teoremalari Bu paragarafda ham ynqorida ko’rilgan tenglamani o’rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T operatorning integral ko’rinishi emas, balki faqat uning kompaktligi muhim rol o’ynaydi. Shuning uchun H Hilbert fazosida birorta operatorni olib, ko’rinishdagi tenglamani o’rganamiz. Buning operatorni ko’rinishda yozamiz. (3.2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo’lgan tenglamani va bularga qo’shma bo’lgan
orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi.
sohasi, ya’ni Bu erdan y Im A ekanligi kelib chiqadi. Demak, Im A yopiqdir. T * operator ham T bilan bir qatorda kompakt bo’lgani sababli, Im A * ham H ning yopiq qism fazosi bo’ladi. Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz. Ravshanki, KerA va Im A * o’zaro ortogonal qism fazolardir. Haqiqatan, ixtiyoriy h KerA va x H uchun Isbot. Agar KerA bo’lsa (ya’ni (3.3) tenglama noldan farqli yechimga ega
Munosabatlar H 1
23-. da chiziqli fazo ta'ri_anib, ularga ko'plab misollar keltirilgan. Chiziqli fazo o'lchami ta'ri_anib, chekli va cheksiz o'lchamli chiziqli fazolarga misollar keltirilgan. Chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazosi tushunchalari bayon qilingan. Faktor fazoda elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari kiritilgan va faktor fazoning chiziqli fazo tashkil qilishi ko'rsatilgan. 24-. Da chiziqli funksionallar, ularning xossalari qarab chiqilgan. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi ochib berilgan. Chiziqli funksionallar va gipertekisliklar o'rtasida biyektiv moslik o'rnatilgan. 25-. qavariq to'plamlar va qavariq funksionallarning xossalarini tahlil qilishga bag'ishlangan. Qavariq jism va qavariq funksionallar orasidagi bog'lanish ochib berilgan. Chiziqli funksionalni davom ettirish haqidagi Xan-Banax teoremasi va Xan-Banax teoremasining kompleks varianti isbotlangan. Normalangan fazo Evklid fazo bo'lishining zarur va yetarli sharti keltirilgan. Oxirgi 28-. Hilbert fazolariga bag'ishlangan. Barcha separabel Hilbert fazolari o'zaro izomor_igi isbotlangan. Hilbert fazolarining qism fazosi, qism fazoning ortogonal to'ldiruvchisi, ortogonal qism fazolarning to'g'ri yig'indilari qaralgan. Xuddi shunday Hilbert fazolarining to'g'ri yig'indilari ta'ri_angan. Paragraf so'ngida haqiqiy va kompleks Evklid fazolaridagi skalyar ko'paytmalardagi tafovutlar tahlil qilingan Chiziqli fazolar va ularga misollar Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan hisoblanadi. Yuqoridagi belgilashlarga amal qilgan holda C bilan kompleks sonlar, R bilan haqiqiy sonlar to'plamini belgilaymiz. 23.1-ta'rif. Agar elementlari x; y; z; . . . bo'lgan L to'plamda quyidagi ikki amal aniqlangan bo'lsa. I. Ixtiyoriy ikkita x; y 2 L elementlarga ularning yig'indisi deb ataluvchi aniq bir x + y 2 L element mos qo'yilgan bo'lib, ixtiyoriy x; y; z 2 L elementlar uchun 1) x + y = y + x (kommutativlik), 2) x + (y + z) = (x + y) + z (assotsiativlik), 3) L da shunday µ element mavjud bo'lib, x + µ = x (nolning mavjudligi), 4) shunday ¡x 2 L element mavjud bo'lib, x + ( ¡ x) = µ (qarama-qarshi elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa; II. ixtiyoriy x 2 L element va ixtiyoriy ∝ son (∝ 2 R yoki 2 C) uchun x elementning ∝ songa ko'paytmasi deb ataluvchi aniq bir ∝ x 2 L element mos qo'yilgan bo'lib, ixtiyoriy x; y 2 L va ixtiyoriy ∝; β sonlar uchun 5) ∝(β x) = (∝ β)x; 6) 1 ¢ x = x; 7) (∝ + ) x = ∝ x + β x ; 8) ∝ (x + y) = ∝ x + ∝ y aksiomalar bajarilsa, u holda L to'plamga chiziqli fazo yoki vektor fazo deyiladi. Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig'indi va songa ko'paytirish amallari deyiladi. Ta'rifda foydalanilgan sonlar zahirasiga (haqiqiy sonlar R yoki kompleks sonlar C) bog'liq holda chiziqli fazo haqiqiy yoki kompleks chiziqli fazo deyiladi. Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz. 23.1-misol. L = R haqiqiy sonlar to'plami odatdagi qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi. L = C kompleks sonlar to'plami ham kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.2. L = Rn ´ fx = (x1; x2; . . . ; xn); xi 2 R; i = 1; 2; . . . ; ng . Bu yerda elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi. Ixtiyoriy x = (x1; x2; . . . ; xn) va y = (y1; y2; . . . ; yn) 2 Rn lar uchun x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . . ; xn + yn) ; (23.1) x = (∝ x1; ∝ x2; . . . ; ∝ xn) . (23.2) Rn¡to'plam (23.1) va (23.2) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi va u n¡o'lchamli haqiqiy chiziqli fazo deyiladi. 23.3. L = Cn ´ fz = (z1; z2; . . . ; zn); zk 2 C; k = 1; 2; . . . ; ng . Bu yerda ham elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari (23.1) va (23.2) tengliklar ko'rinishida aniqlanadi. Cn¡ to'plam kompleks chiziqli fazo bo'ladi va u n¡o'lchamli kompleks chiziqli fazo deyiladi. 23.4. L = C[a; b] ¡ [a; b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to'plami. Funksiyalarni qo'shish va funksiyani songa ko'paytirish amallari mos ravishda (f + g) (x) = f(x) + g(x) (23.3) va (∝ f) (x) = ∝ f (x) (23.4) ko'rinishda aniqlanadi. (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, C[a; b] to'plam chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.5. `2 =½ x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . 1P n=1 jxnj2 < 1 ¾ _ kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu yerda elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi. x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . . ; xn + yn; . . .) ; (23.5) ∝x = ∝(x1; x2; . . . ; xn; . . .) = (∝x1; ∝x2; . . . ; ∝xn; . . .); ∝ 2 C. (23.6) Yig'indi x + y 2 `2 ekanligi j a + b j2 · 2 jaj2 + 2j bj2 tengsizlikdan kelib chiqadi. (23.5) va (23.6) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, `2 to'plam kompleks chiziqli fazo bo'ladi. 23.6. c0 = f x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . limn!1 xn = 0 g¡ nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plamda ham qo'shish va songa ko'paytirish amallari (23.5) va (23.6) tengliklar ko'rinishida aniqlanadi va ular chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, c0 to'plam chiziqli fazo bo'ladi. 23.7. c ={ x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . limn!1xn = a } – yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.8. L = m¡barcha chegaralangan ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Endi IV va V bobda xossalari o'rganilgan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar va o'zgarishi chegaralangan funksiyalar to'plamini qaraymiz 23.9. Berilgan [a; b] kesmada Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar to'plamini ˜L1[a; b] bilan belgilaymiz. Bu to'plamda elementlarni qo'shish va elementni songa ko'paytirish amallari (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlanadi.˜L1[a; b] to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq. Chunki, integrallanuvchi f va g funksiyalar yig'indisi f + g ham integrallanuvchi va tenglik o'rinli. Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko'paytmasi yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L1[a; b] to'plam chiziqli fazo bo'ladi. tenglik o'rinli. Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko'paytmasi yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L1[a; b] to'plam chiziqli fazo bo'ladi. f + g 2 Lp[a; b] ekanligi Minkovskiy tengsizligi dan kelib chiqadi. 23.11. Berilgan [a; b] kesmada aniqlangan va o'zgarishi chegaralangan funksiyalar to'plamini V [a; b] bilan belgilaymiz. Bu to'plamda ham funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari 23.4-misoldagidek kiritiladi. Ishonch hosil qilish mumkinki, V [a; b] to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Hosil qilingan fazo o'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi deyiladi va bu fazo V [a; b] bilan belgilanadi. 23.2-ta'rif. Bizga L va L* chiziqli fazolar berilgan bo'lsin. Agar bu fazolar o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lib, e kanligidan x + y $ x* + y* va ∝x $ ∝x*; (∝ ¡ ixtiyoriy son) ekanligi kelib chiqsa, u holda L va L* chiziqli fazolar o'zaro izomorf fazolar deyiladi. Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko'rinishi deb qarash mumkin. 23.3-ta'rif. Agar L chiziqli fazoning x1; x2; . . . ; xn elementlar sistemasi uchun hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli bo'lgan a1; a2; . . . ; an sonlar mavjud bo'lib, tenglik bajarilsa, u holda x1; x2; : : : ; xn elementlar sistemasi chiziqli bog'langan d eyiladi. Aks holda, ya'ni (23.7) tenglikdan ekanligi kelib chiqsa, x1; x2; : : : ; xn elementlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi. Agar x1; x2; : : : ; xn; : : : cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo'lsa, u holda fxng1 n=1 sistema chiziqli erkli deyiladi. 23.4-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo'lib, bu fazoning ixtiyoriy n + 1 ta elementdan iborat sistemasi chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda L n¡ o'lchamli chiziqli fazo deyiladi va dim L = n kabi yoziladi. n o'lchamli L chiziqli fazoning ixtiyoriy n ta elementdan iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi. 23.5-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda ixtiyoriy n 2 N uchun n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo'lsa, u holda L cheksiz o'lchamli chiziqli fazo deyiladi va dim L = 1 ko'rinishda yoziladi. Rn va Cn fazolar n o'lchamli chiziqli fazolardir. L = C[a; b] fazodan boshlab 23.4-23.11 misollarda keltirilgan barcha fazolar cheksiz o'lchamli fazolardir. Masalan, `2 fazoda sistema cheksiz chiziqli erkli sistemaga misol bo'ladi. Chiziqli fazoning qism fazosi Bizga L chiziqli fazoning bo'sh bo'lmagan L0 qism to'plami berilgan bo'lsin. 23.6-ta'rif. Agar L0 ning o'zi L da kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli fazoni tashkil qilsa, u holda L0 to'plam L ning qism fazosi deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, agar ixtiyoriy x; y 2 L0 va a; b 2 C(R) sonlar uchun ax + by 2 L0 bo'lsa, L0 ga qism fazo deyiladi. Har qanday L chiziqli fazoning faqat nol elementdan iborat fµg qism fazosi bor. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy L chiziqli fazoni o'zining qism fazosi sifatida qarash mumkin. 23.7-ta'rif. L chiziqli fazodan farqli va hech bo'lmaganda bitta nolmas elementni saqlovchi qism fazo xos qism fazo deyiladi. 23.12-misol. `2 ½ c0 ½ c ½ m fazolarning har biri o'zidan keyingilari uchun xos qism fazo bo'ladi. 23.13. Endi [a; b] kesmada p(p ¸ 1)¡ darajasi bilan integrallanuvchi funksiyalar fazosi ˜Lp [a; b] ni qaraymiz. Bu fazoning nolga ekvivalent funksiyalaridan tashkil topgan qism to'plamni ˜L(0) p [a; b] ko'rinishda belgilaymiz. Ma'lumki, nolga ekvivalent funksiyalar yig'indisi yana nolga ekvivalent bo'lgan funksiya bo'ladi. Nolga ekvivalent funksiyaning songa ko'paytmasi ham nolga ekvivalent funksiya bo'ladi. Demak, ˜L (0) p [a; b] to'plam ˜Lp [a; b] fazoning xos qism fazosi bo'ladi. 23.14. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a; b] ni qaraymiz. Ma'lumki, [a; b] kesmada absolyut uzluksiz funksiyalar to'plami V [a; b] ning qism to'plami bo'ladi. Absolyut uzluksiz funksiyalar to'plami funksiyalarni qo'shish (23.3) va songa ko'paytirish (23.4) amallariga nisbatan yopiq to'plam. Shuning uchun u V [a; b] fazoning qism fazosi bo'ladi va u AC[a; b] bilan belgilanadi. 23.15. V [a; b] fazoda f(a) = 0 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to'plamini qaraymiz. Bu to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq to'plamdir. Shuning uchun u V [a; b] fazoning qism fazosi bo'ladi va u V0[a; b] bilan belgilanadi. 23.16. Yana o'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a; b] ni qaraymiz. Ma'lumki, [a; b] kesmada monoton funksiyalar to'plami V [a; b] ning qism to'plami bo'ladi. Ammo ikki monoton funksiyaning yig'indisi har doim monoton funksiya bo'lavermaydi. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin. x(t) = t2 +1 ; y(t) = ¡2t funksiyalarning har biri [0; 2] kesmada monoton funksiya bo'ladi, ammo ularning yig'indisi x(t) + y(t) = (t ¡ 1 )2 funksiya [0; 2] kesmada monoton emas. Demak, [a; b] kesmada monoton funksiyalar to'plami V [a; b] fazoning qism fazosi bo'la olmaydi. Demak, chiziqli fazoning har qanday qism to'plami qism fazo tashkil qilavermas ekan. Bizga L fazoning bo'sh bo'lmagan fxig qism to'plami berilgan bo'lsin. U holda L chiziqli fazoda fxig sistemani o'zida saqlovchi minimal qism fazo mavjud. Haqiqatan ham, fxig sistemani saqlovchi hech bo'lmaganda bitta qism fazo mavjud, bu L ning o'zi. Ixtiyoriy sondagi qism fazolarning kesishmasi yana qism fazo bo'ladi. Haqiqatan ham, agar L* = Li bo'lib x; y 2 L* bo'lsa, u holda ta'rifga ko'ra ixtiyoriy i uchun x; y 2 Li bo'ladi. Li qism fazo bo'lganligi uchun ∝ x + ¯ y 2 Li munosabat barcha ∝; ¯ sonlar uchun o'rinli. Demak, ∝ x + ¯ y 2 L* bo'ladi. Endi fxig sistemani saqlovchi L ning barcha qism fazolarini olamiz va ularning kesishmasini qaraymiz hamda uni L (fxig) orqali belgilaymiz. L (fxig) qism fazo fxig sistemani saqlovchi minimal qism fazo bo'ladi. Bu L(fxig) minimal qism fazo fxig sistemadan hosil bo'lgan qism fazo yoki fxig sistemaning chiziqli qobig'i deyiladi. Xulosa Функционал анализ фанининг пайдо бўлишида интеграл тенгламаларни ечиш усулларини ишлаб чиқиш катта аҳамиятга эга бўлган. Интеграл операторлар назариясининг ривожланиши компакт операторлар назариясининг ривожида муҳим ўрин тутган. Функционал аналтз курсини ўрганишда интеграл операторлар ва уларга боғлиқ интеграл тенгламаларни билиш зарурдир. Битирув малакавий ишида интеграл тенгламаларнинг баьзи масалалари қараб чиқилди. Bitiruv malakaviy ishining dastlabki ikkita paragrafida chiziqli integral tenglamalar ta’rifi, asosiy xossalari ham chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalalar berilgan. Ishning co’ngi ikkita paragrafida chiziqli integral tenglamalar uchun Fredholm teoremalari ham aynigan yadroli integral tenglamalar qaralgan. Adabiyotlar dizimi Аюпов Ш.А., Ибрагимов М.М., Кудайбергенов К.К. Функционаллық анализден мисол ва масалалар, Нөкис, «Билим», 2009. Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional analiz. Toshkent, 2007. Abdullaev J., Ganixojaev R.N., Shermatov M.H., Egamberdiev O.I. Funksional analiz, Toshkent, 2009. Gorodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Metody resheniya zadach po funksional'nomu analizu. M.: Vysshaya shokla, 1990. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funksional'niy analiz. M.: Nauka, 1977. Kirillov A.A., Gvishiani A.D. Teoremi i zadachi funksional'nogo analiza. M.: Nauka, 1979. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funksional'nogo analiza. M: Nauka, 1977. Kutateladze S.S. Osnovy funksional'nogo analiza. Novosibirsk, 2001 Sarimsakov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent, O'qituvchi, 1980. 10. Sarimsakov T.A. Haqiqiy o'zgaruvchili funksialar nazariyasi. Toshkent, 1989. Yüklə 203,42 Kb. Dostları ilə paylaş:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||