1- masala. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida

Har bir ishchining bir kunda ishlab chiqargan mahsuloti qiymati, mln. so‘m	37,5	45,0	67,5	75,0	82,5	97,5
100,0
Bir ishchining kunlik elektr energiya sarfi, kvt/soat	31,5	30,0	28,5	25,5	22,5	21,0	18,0

Bu ma’lumotlar asosida quyidagilarni aniqlang:
1) Regressiya tenglamasi parametrlari, korrelyatsiya indeksini.
2) Hosil qilingan model va uning parametrlarini 5% muhimlik darajasi bo‘yicha mohiyatliligini tekshiring. Xulosalar bering.

1. 
   Regressiya tenglamasi parametrlarini va korrelyatsiya indeksini topish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz:
   

Y = a + bX
a = Ȳ - bX̅
b = Σ((X - X̅)(Y - Ȳ)) / Σ((X - X̅)²)
r = Σ((X - X̅)(Y - Ȳ)) / √(Σ(X - X̅)² * Σ(Y - Ȳ)²)
Berilgan ma'lumotlar bo'yicha hisoblashimiz:
X = [31.5, 30.0, 28.5, 25.5, 22.5, 21.0, 18.0]
Y = [37.5, 45.0, 67.5, 75.0, 82.5, 97.5, 100.0]
X̅ = (31.5 + 30.0 + 28.5 + 25.5 + 22.5 + 21.0 + 18.0) / 7 ≈ 25.857
Ȳ = (37.5 + 45.0 + 67.5 + 75.0 + 82.5 + 97.5 + 100.0) / 7 ≈ 70.714
Σ((X - X̅)(Y - Ȳ)) = (-4.3575) + (-3.8575) + (-0.3575) + (3.6425) + (8.1425) + (18.6425) + (29.1425) ≈ 70.0
Σ((X - X̅)²) = (5.6425)² + (4.8575)² + (3.3575)² + (0.3575)² + (3.8575)² + (4.8575)² + (7.8575)² ≈ 122.5
Σ((Y - Ȳ)²) = (37.5 - 70.714)² + (45.0 - 70.714)² + (67.5 - 70.714)² + (75.0 - 70.714)² + (82.5 - 70.714)² + (97.5 - 70.714)² + (100.0 - 70.714)² ≈ 2502.857
Parametrlarni hisoblash:
b = 70.0 / 122.5 ≈ 0.571
a = 70.714 - (0.571 * 25.857) ≈ 56.071
Korrelyatsiya indeksi (r) ni hisoblash uchun:
r = 70.0 / √(122.5 * 2502.857) ≈ 0.924
Regressiya tenglamasi parametrlari:
Y = 56.071 + 0.571X
Korrelyatsiya indeksi (r) 0.924 ga tengdir. Bu qiymat o'zaro tesirning yuqori darajada to'g'rilanishini ko'rsatadi. Kunlik elektr energiya sarfi oshganda ishlab chiqargan mahsulot qiymati ham yuqori bo'ladi.

2. 
   Mohiyatliligi tekshirish uchun, regressiya tenglamasi parametrlarini 5% muhimlik darajasi bo'yicha tekshiramiz. Bu uchun parametrlar bo'yicha t-daraja qiymatlarini hisoblaymiz.
   

Parametrlar:
a = 56.071
b = 0.571
Ma'lumotlar soni (n) = 7 (berilgan ma'lumotlar soni)
Standart xatolik (SE) = √(Σ(Y - Ŷ)² / (n - 2))
Bu yerda Y - faktik mahsulot qiymati, Ŷ - regressiya tenglamasi orqali aniqlangan mahsulot qiymati.
So'ng, t-daraja qiymatini hisoblash uchun, quyidagi formuladan foydalanamiz:
t = b / (SE / √Σ(X - X̅)²)
SE = √(Σ(Y - Ŷ)² / (n - 2)) ≈Kechirasiz, men statistik hisoblashni davom ettirishim kerak edi. Quyidagi hisoblashlarni bajarib ko'raman:
Ŷ = a + bX
Ŷ = 56.071 + 0.571X
Ŷ = [56.071 + 0.571(31.5), 56.071 + 0.571(30.0), 56.071 + 0.571(28.5), 56.071 + 0.571(25.5), 56.071 + 0.571(22.5), 56.071 + 0.571(21.0), 56.071 + 0.571(18.0)]
Ŷ = [73.993, 72.135, 70.277, 66.561, 62.845, 61.987, 59.129]
Ŷ = [74.0, 72.1, 70.3, 66.6, 62.8, 62.0, 59.1]
Ŷ qiymatlari:
[74.0, 72.1, 70.3, 66.6, 62.8, 62.0, 59.1]
SE = √(Σ(Y - Ŷ)² / (n - 2))
SE = √((37.5 - 74.0)² + (45.0 - 72.1)² + (67.5 - 70.3)² + (75.0 - 66.6)² + (82.5 - 62.8)² + (97.5 - 62.0)² + (100.0 - 59.1)²) / (7 - 2)
SE ≈ 13.04
t-daraja qiymatlarini hisoblash uchun, ma'lumotlar soni (n - 2 = 7 - 2 = 5) va α = 0.05 (5% muhimlik darajasi) dan foydalanamiz:
t = b / (SE / √Σ(X - X̅)²)
t = 0.571 / (13.04 / √(122.5 + 4.8575 + 4.8575 + 7.8575))
t ≈ 0.571 / (13.04 / √139.0725)
t ≈ 0.571 / 1.1134
t ≈ 0.5133
t-daraja = 0.5133
Vaqtinchalik menimcha ma'lumotlarda xatolik bo'lishi mumkin. Men hisoblashni to'g'irlashim kerak. Kechirasiz uchun qayta hisoblashni bajarayotganman.