1. Boshlang’ich funksiya va

KASR RATSIONAL VA BA’ZI IRRATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
REJA:
1. Boshlang’ich funksiya va uning xossasi
2. Kasr ratsional funksiylarni integrallash
3. Ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash

1. 
   Boshlang’ich funksiya va uning xossasi. Ma’lumki matematikada amallar juft-juft bo’lib uchrab keladi. Jumladan, qo’shish va ayirish, ko’paytirish va bo’lish, darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish va boshqalar. Funksiya hosilasini topishga yoki differensialash amaliga teskari amal bormikan degan tabiiy savol tug’iladi.
   

Differensial hisobda funksiya berilgan bo’lsa, uning hosilasini topishni qaradik. Haqiqatda ham fan va texnikaning bir qancha masalalarini hal etishda

teskari masalani yechishga to’g’ri keladiki, berilgan
f (x)
funksiya uchun

shunday,
F(x)
funksiyani topish kerakki, uning hosilasi berilgan
f (x) funksiyaga

teng bo’lsin. Ma’lumki, bunday F(x)
funksiyaga berilgan
f (x)
funksiyaning

boshlang’ich (dastlabki) funksiyasi deyiladi.

Masalan,
y  f
x  x⁴

funksiyaning boshlang’ich funksiyasi,

F x  ^x

5
5

bo’ladi, chunki
F ^x 
( ^x )^  x⁴ 

5
5

f x
bo’ladi.

2. 
   Aniqmas integral va uning xossalari.
   

Ta’rif.

F(x)
funksiya biror oraliqda
f (x)
funksiyaning boshlang’ich

funksiyasi bo’lsa,
F(x)  C
(bunda C ixtiyoriy o’zgarmas) funksiyalar to’plami

shu oraliqda
f (x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va

_ f (x)dx  F (x)  C

bilan belgilanadi. Bu yerda
f (x)
integral ostidagi funksiya,
f (x)dx
integral

ostidagi ifoda, х integrallash o’zgaruvchisi,  integral belgisi deyiladi.

Demak, _
f (x)dx
simvol,
f (x)
funksiyaning hamma boshlang’ich

funksiyalari to’plamini belgilaydi.
Berilgan funksiyaning aniqmas integralini topish amaliga integrallash deyiladi.
Aniqmas integralning xossalari:

1. 
   aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga, differensiali esa integral ostidagi ifodaga teng, ya’ni
   

_ f (x)dx^  f (x) ва d _ F(x)dx  F(x)dx;

2. 
   biror funksiyaning hosilasidan hamda differensialidan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmasning yig’indisiga teng, ya’ni
   

f ^(x)dx 
f (x)  C
ва _ dF(x)  F (x)  C.

Bu xossalar aniqmas integralning ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Haqiqatan, 1-xossadan _ f (x)dx^  F(x)  C^  F^(x)  0  f (x) bo’ladi.
(Qolganlarini keltirib chiqarish o’quvchiga havola etiladi).
Bu xossalardan differensiallash va integrallash amallari o’zaro teskari amallar ekanligini payqash mumkin.

3. 
   o’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish
   

mumkin, ya’ni ^{K  const  0} bo’lsa,

_ Kf (x)dx  K _
f (x)dx;

4. 
   chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas integrali, shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni
   

_  f₁(x)  f₂ (x)  f₃ (x) dx  _ f₁(x)dx  _ f₂ (x)dx  _ f₃ (x) dx.

3. 
   Asosiy integrallar jadvali. Berilgan funksiyaga asosan uning boshlang’ichini topish, berilgan funksiyani Differensiallashga nisbatan ancha
   

murakkabroq masaladir. Differensial hisobda asosiy elementar funksiyalarning, yig’indining, ko’paytmaning, bo’linmaning hamda murakkab funksiyalarning hosilasini topishni o’rgandik. Bu qoidalar istalgan elementar funksiyalarning hosilasini topishga imkon berdi. Elementar funksiyalarni integrallashda esa Differensiallashdagidek umumiy qoidalar yo’q. masalan, ikkita elementar funksiyalar boshlang’ichlarining mahlum bo’lishiga qaramasdan, ular ko’paytmasining, bo’linmasining boshlang’ichini topishda aniq bir qoida yo’q.
Integrallashda integral ostidagi ifodaning muayyan berilishiga qarab, unga mos individual usullardan foydalanishga to’g’ri keladi. Boshqacha aytganda, integrallashda ancha kengroq fikr yuritish kerak bo’ladi. Funksiyani integrallash ya’ni boshlang’ich funksiyani topish metodlari bir qancha shunday usullarni ko’rsatadiki, ular yordamida ko’p hollarda maqsadga erishiladi.
Integrallashda maqsadga erishish uchun quyidagi asosiy integrallar jadvalini yoddan bilish zarur.

1. 
   _ x
   

n 1

x
ⁿdx   C, n  1
n  1;

2. 
   _ dx  x  C;
   
3. 
   ¹ dx  ln x
   


x

• 
  C;
  

4. 
   _ sin xdx   cos x  C;
   
5. 
   _ cos xdx  sin x  C;
   
6. 
   _ e^xdx  e^x  C;
   

_{x a}x
1 1 x

7) _
a dx   C, (0  a  1); ln a

8. 
   _{ a2  x2} dx  _a arctg _a  C;
   

8. 
   
   
   
   
   ¹ dx  arcsin ^x  C;
   

a



8. 10)

¹ dx  tgx  C; cos² x

8. 11)

_ ¹ dx  ctgx  C;

8. 12)

_ dx _ 1 _ln x  a _{ C,}
a  0;

8. 13)

sin ² x


_ ^dx  ln x 

• 
  C.
  

x²  a²
2a x  a

Bu formulalarning to’g’riligini, tekshirish tengliklarning o’ng tomonidagi ifodalar differensiali integral ostidagi ifodaga teng ekanligini ko’rsatishdan iboratdir. Masalan,

^ xⁿ  1
  _xⁿ _{ 1} ^
(n  1)x ⁿ

d ^  C ^  ^

• 
  C ^
  

dx 
dx  xⁿdx.

_ n  1
_{ } n  1 _
n  1

4. 
   Aniqmas integralda integrallash usullari
   

1. 
   O’zgaruvchini almashtirish. Ko’p hollarda yangi o’zgaruvchi kiritish bilan integralni hisoblash, jadval integraliga keltiriladi. Bunda
   

(x)  t almashtirish olinib, bunda t yangi o’zgaruvchi bo’lib, o’zgaruvchini

almashtirish formulasi

ko’rinishda bo’ladi. Oddiy hollarda

_ f (x) ^(x)dx  _


f (t)dt

xdx  ¹ d (x² ), 2
cos xdx  d (sin x),
^dx  d (ln x), x
dx  ¹ (ax  b), ....
a

tengliklardan foydalanib, o’zgaruvchini almashtirishni fikrda bajarib, bevosita integrallash ham mumkin.

2. 
   Bo’laklab integrallash. Bo’laklab integrallash usuli differensial hisobning ikkita funksiya ko’paytmasi differensiali formulasiga asoslangan.
   

Ma’lumki, d(uv)  udv  vdu, bundan udv  d(uv)  vdu. Oxirgi

tenglikni integrallab,

_ udv  _ d (uv)  _ vdu  uv  _ vdu

natijaga ega bo’lamiz. Shunday qilib,

_ udv  uv  _ vdu

(1)

formulani hosil qildik. (1) formulaga bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.

Bu formula yordamida berilgan _ udv integraldan ikkinchi _ vdu integralga o’tiladi. Demak, bo’laklab integrallashni qo’llash natijasida hosil bo’lgan ikkinchi integral, berilgan integralga nisbatan soddaroq yoki jadval integrali bo’lgandagina bu usulni qo’llash maqsadga muvofiqdir. Bu maqsadga integral ostidagi ifodani u va ^dv ko’paytuvchilarga qulay bo’laklab olish natijasida erishish mukmin. Berilgan integral ostidagi ifodaning bir qismini u va qolgan qismini ^dv deb olgandan keyin (1) formuladan foydalanish uchun v va ^du larni aniqlash kerak bo’ladi. ^du ni topish uchun u ning Differensiali topilib, v ni topish uchun esa ^dv ifodani integralaymiz, bunda integral ixtiyoriy o’zgarmas C ga bog’liq bo’lib, uning

istalgan bir qiymatini xususiy holda
C  0

ni olish mumkin.

Shunday qilib, integral ostidagi ifodaning bir qismini u deb olishda u Differensiallash bilan soddalashadigan, qolgan qismi dv bo’lib, qiyinchiliksiz integrallanadigan bo’lishi kerak.

Bo’laklab integrallash formulasi ko’proq:

1. 
   _ p(x)e^axdx,
   

_ p(x) sin mxdx,
_ p(x) cos axdx ва

2. 
   _ p(x) ln xdx, _ p(x) arcsin xdx, _ p(x) arccos xdx, _ p(x)arctgxdx, _ p(x)arcctgxdx