1. Boshlang’ich funksiya va

noto’g’ri kasr ratsional funksiya bo’lsa, uni

Q(x) _{=T (x) +} R(x)

P(x)

shaklda ifodalash mumkin, bu yerda

P(x)
T (x)

butun ratsional funksiya,

R(x)


P(x)

to’g’ri ratsional kasr funksiyadan iborat. integrallash mumkin.

T (x)

funksiyani osongina

Shunday qilib, noto’g’ri kasr ratsional funksiyani integrallashni,

kasr ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.

R(x)


P(x)
to’g’ri

2. 
   2
   To’g’ri kasr ratsional funtsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida ifodalash va ularni integrallash

1. 
   ^A
   

; 2)
^A (k  1
бутун сон); 3)
Ax  B
; ( ^p  q  0

x  a
(x  a)^k
x ² 
px  q ⁴

ya’ni, kvadrat uch had haqiqiy ildizga ega emas);

₄₎ Ax  B
(x²  px  q)ⁿ
(n  1

2
butun son,

^p  q  0) 4

ratsional to’g’ri

kasrlarga sodda kasr ratsional funksiyalar deyiladi. ( A, B, p, q, a - haqiqiy sonlar).

Birinchi ikki xildagi funksiyalarni osongina integrallash mumkin,

ya’ni,


1) ^A dx  A ln x  a x  a

A

• 
  C,
  

 k

(x  a)^{k 1} A 1

^{2) } (x  a)^k
 A_ (x  a)
d (x  a)  A
 k  1
^{ C  1  k } (x  a)^{k 1  C}

bo’ladi. Endi ushbu


₃₎ Ax  B _dx x²  px  q

integralni hisoblaymiz.


Oldin xususiy hol ¹ dx
x²  px  q

integralni qaraylik.

x ² 


px  q

dan


to’la kvadrat ajratib, qilamiz:
x  ^p  t

2

almashtirishdan keyin quyidagini hosil

 
¹ dx 
x²  px  q
1

p p ²

dx 
x  ^p  t

2

_ dt _, (t ²  a ² )

(x 
)²  q 

2 4

dx  dt

bu yerda foydalanib,

a  . Oxirgi integralda integrallash jadvalidan

_ ¹ dx  ¹ arctg ^t

• 
  C  ² arctg ^{2x  p}  C
  

(2)

x²  px  q ^{a a}

natijani hosil qilamiz.


Endi ^{Ax  B} dx
x²  px  q

integralni hisoblaymiz.

Ax  B  (2x  p) ^A  ^Ap  B

2 2

shakl o’zgartirishdan foydalanib, integralni quyidagicha yozamiz.

(2x  p) ^A  ^Ap  B

_ Ax  B _{dx  }
2 2 _{dx }

x²  px  q
x²  px  q

_ A 2x  p

dx  ^ B 
Ap _

¹ dx.

^{2 } x² 
px  q ^{
2 } x² 
px  q




Oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integral

2x  p
d (x²  px  q) ₂

^ x ²  px  q ^{dx  }
x²  px  q
 ln x

• 
  px  q
  
• 
  C₁
  

bo’lib, ikkinchi integral (2) formulaga asosan,


dx _ 2 _arctg 2x  p _{ C .}
x²  px  q ²

Shunday qilib,

_ Ax  B _{dx } A _{ln x 2 }
px  q

• 
  2B  Ap _arctg 2x  p _{ C}
  

x ²  px  q ²
natijaga ega bo’lamiz.

v) To’g’ri kasr ratsional funksiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida ifodalash.

R(x)
P(x)

to’g’ri kasr ratsional funksiyaning maxrajini

P(x)  (x  a)^r  (x  b)^s.....( x²  2 px  q)^t  (x²  2kx  𝑙)^m ,

ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu funksiyani yagona

R(x) _
P(x)
A₁
(x  a)
_ A₂

x ²  2kx  𝑙
(x  a) ²
 ... 
A_r
(x  a) ^r
_ B₁
(x  b)
 ... 
B_s
(x  b) ^s
 ... 
M₁ x  N₁
x ²  2 px  q
 ... 

(x ²  2 px  q)^t
_ M_t x  N_{t
 } F₁ x  E_1
  ...  _
F_m x  E_m

x ²  2kx  𝑙 m

 ...
(1)

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda

r, s, . .t,.m. ,

musbat butun sonlar,

a, b, p, q, k, 𝑙 , haqiqiy sonlar.

A₁,
A₂,....
A_r ,
B₁,... , B_s ,
M₁,
N₁, ,
M_t ,
N_t ,....

lar ayrim haqiqiy sonlar.

1. 
   tenglikka to’g’ri ratsional funksiyaning sodda kasrlar orqali yoyilmasi
   

deyiladi.

1. 
   yoyilmadagi
   

A₁,
A₂,....
A_r ,
M₁,
N₁, ,
M_t ,
N_t ,....

koeffitsientlarni topish uchun uni

P(x)

ga ko’paytiramiz.

R(x)

ko’phad

bilan (1) yoyilmaning o’ng tomonida hosil bo’lgan ko’phad o’zaro teng bo’lishi uchun bir xil darajali x lar koeffitsientlari o’zaro teng bo’lishi kerak. Bir xil darajali x lar koeffitsientlarini tenglashtirib

A₁,
A₂,....
A_r , ,
M₁,

N₁,.... , nomahlum koeffitsentlarga nisbatan chiziqli

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasini yechib aniqmas koeffitsientlarni topamiz.
Ratsional funkiya yoyilmasidagi nom‘lum koeffitsientlarni bunday usul bilan topishga noma‘lum koeffitsientlar usuli deyiladi.


Ayrim irratsional funksiyalarni integrallash. Irratsional funksiyalarni integrallash ko’p hollarda o’zgaruvchini almashtirish bilan ratsional funksiyalarni integrallashga keltiriladi. Bunday irratsional funksiyalarning ayrimlarini qaraymiz.

1. _ x^m (a  bxⁿ ) ^p
ko’rinishdagi integralni ќisoblash talab etilsin,

bunda
m, n, p
ratsional sonlar, a va ^b lar no’ldan farqli o’zgarmaslar.

1. 
   p butun son bo’lsa, Nyuton binomi bo’yicha yoyish bilan integrallanadi;
   

₂₎ m 1

n

butun bo’lsa,
a  bxⁿ
 t ^s
almashtirish orqali

ratsionallashtiriladi, bunda s p kasrning maxraji;

3) ^{m  1}  p n
butun bo’lsa,
ax^n  b  t ^s
almashtirish olinib,

ratsional funksiyaga keltiriladi.

_ dx

ko’rinishdagi integralni qaraymiz.

Bunday ko’rinishdagi ifodalarni integrallash kvadrat uch haddan to’la kvadrat ajratish bilan _ ^du yoki _ ^du jadval
integrallaridan biriga keltiriladi.

Trigonometrik funksiyalarni integrallash

Har xil argumentli sinus va kosinuslar ko’paytmalari shaklidagi funksiyalarni integrallash.

_ sin mx cos nxdx,
_ sin mx sin nxdx,
_ cos mx cos nxdx
(1)

ko’rinishdagi integrallarni hisoblaymiz. Maktab kursidan ma’lum bo’lgan trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini, yig’indiga keltirish
sin cos   ¹ _sin(   )  sin(   )_,
2
sin sin   ¹ _cos(   )  cos(   )_,
2
cos cos   ¹ _cos(   )  cos(   )_
2
formulalardan foydalanib, (1) ko’rinishdagi integrallarni

_ sin axdx,
integrallardan biriga keltirib itegrallanadi.
_ cosbxdx

_ sin ^m x cosⁿ xdx

ko’rinishdagi integrallarni hisoblash. Bunda

m, n

lar butun sonlar. Xususiy hollarda m yoki n sonlardan birontasi 0 ga teng bo’lishi ham mumkin.

1. 
   m yoki n sonlardan bittasi toq bo’lsin. Bu holda integral ratsional funksiyalarni integrallashga keltiriladi. Bunda integrallash mohiyati quyidagi misollardan tushunarli bo’ladi.
   

Endi m va n sonlar ikkalasi ham toq yoki juft va musbat bo’lsin. Bunday hollarda

_{sin 2 x } 1  cos 2x _,

2

_{cos2 x } 1  cos 2x _,

2

sin x cos x  ¹ sin 2x

2

formulalardan foydalanib, darajalarni pasaytirib, integrallanadi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   G.Xudoyberganov, A.K.Vorisov, X.T. Mansurov, B.A.Shoimqulov. Matematik analizdan ma‘ruzalar 1-qism.-T.: Voris nashiriyot, 2010.
   
2. 
   Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3-qism. -T.: O’qituvchi, 1996.
   
3. 
   Д.Писменный. "Конспект лекций по высшей математике", Полный курс.
   

-M.: Айрис Пресс, 2006.