1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

II BOB Laplas almashtirishini tadbiqlari

1. 
   § O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalarni yechish
   

O‟zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalarning berilgan boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi hususiy yechimini Laplas almashtirishini qo‟llash yo‟li bilan topamiz:

1. 
   Avval ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechamiz:
   

y ^( t )  a y ^( t )  a ₂ y ( t ) 
f ( t )

(2.1.1)

tenglama berilgan bo‟lsin;
a₁ va a ₂

o‟zgarmas sonlar. Bu tenglamaning

y ( 0 )  y ₀

y ^( 0 ) 

y ₀^

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantruvchi y(t)-xususiy

yechimini topish kerak. Tenglamani yechimi

y ( t ) , uning hosilalari

y ^( t ) , y ^( t ) va

o‟ng tomoni

f _ t _ - originallar bo‟lsin. Agar

y ( t ) 

y ( p ) va

f ( t ) 

F ( p )

desak,

u holda originalni differensiallab

larni topamiz.

y ^( t ) 

p y ( p ) 

^y ₀ ,

y ^(t ) 

p ² y ( p ) 

py ₀  y ^

Tasvirni chiziqlik xossasiga va (2.1.1) tenglamaga asosan:

p ² y ( p )  py

 y ^  a ( py ( p )  y )  a y ( p ) 

F ( p )

0 0 0 2

( p ²  a p  a



) y ( p ) 

F ( p )  py

 y ^

 a y

(2.1.2)

1 2 0 0 1 0
(2.1.2)- tenglama (2.1.1) differensial tenglamaning yordamchi tenglamasi yoki tasvirlovchi tenglamasi deyiladi.

Natijada original

y _ t _ - uchun (2.1.1) differensial tenglama o‟rniga uning

tasviri



y ( p )

- uchun (2.1.2) algebraik tenglamani hosil qildik.

(2.1.2) tenglikdan





y ( p ) 
F ( p )  p y ₀  y ₀^  a₁ y ₀

(2.1.3)

2
p  a₁ p  a ₂
(2.1.3) formula (2.1.2) tenglamaning operator yechimidir. y ( p ) - tasvirga asosan

y ( t )

-originalni ya‟ni (2.1.1) tenglamani yechimini topamiz.

Misol. 1)

y ^  3 y ^  2 y

 2 e ^3t

differensial tenglamaning

y ( 0 )  1,

y ^( 0 )  3

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiradigan hususiy yechimi topilsin.

Yechish.

F ( p ) 

²  2 e ^{3 t} ,

a   3 , a  2 , y  1, y ^  3

p  3

1 2 0 0

Bo‟lgani uchun (2.1.3) formulaga asosan:

2



p  3

p  1  3  (  3 )  1
2  p ²

 3 p 1

jadvaldan

y ( p )   

p ²  3 p  2 ( p  3 ) ( p ²  3 p  2 )
y (t )  e ^3t - izlangan yechim bo‟ladi.


p  3

2) y ^  4 y

 s in t

tenglamaning

y ( 0 )  1,

y ^( 0 )  1 shartlarni qanoatlantiruvchi

yechimi topilsin.
Yechish. s in t 

p

, y  1,

y ^ ( 0 )  1

_{p 2  1} 0 0

1



p ²  1

p  1
1  ( p  1)( p ²
 1)
p ³ 
p ² 
p  2

y ( p )   

p ²  4 ( p ²  4 )( p ²  1) ( p ²

 4 )( p ²

 1)

oxirgi kasrni elementar kasrlarga ajratamiz:

p 2 1

bundan jadvalga ko‟ra

y ( p )    ;

p ²  4 3 ( p ²  4 ) 3 ( p ²  1)

y ( t )  co s 2 t 

1 1

s in 2 t 

3 3

s in t .

2. 
   Endi n- tartibli chiziqli differensial tenglama olamiz:
   

0 1 2 n 1 n
a y ^{( n )} (t )  a y ^{( n 1)} (t )  a y ^{n  2} (t )  .....  a y ^( t )  a y ( t ) 
f ( t )

(2.1.5)

bunda

a ₀ , a₁ , a ₂ , , a _n

o‟zgarmas koeffitsentlar. Bu tenglamaning

y ( 0 ) 

y ₀ , y ^( 0 ) 

y ^ , ..., y ^{( n 1)} ( 0 ) 

( n  1 )


y
0

boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiruvchi

0
xususiy yechimini topamiz.

(1) tenglamani hadlab

_e  pt

ga ko‟paytramiz, (bunda p  a  b i ) va 0 dan ^

gacha oraliqda t bo‟yicha integrallaymiz:

n
   

0 1
a _ e ^{ p t} y ^{( n )} ( t ) d t  a

_ e ^{ p t} y ^{( n 1)} d t  ...  a
n 1

_ e ^{ p t} y ^(t ) d t  a

_ e ^{ p t} y (t ) d t 

0 0 0 0



 _ e ^{ pt} f ( t ) d t

0

Bu tenglamani chap tomonida
y ( t )

funksiya va uning hosilalarining tasvirlari, o‟ng

tomonida

f _ t _

funksiyaning tasviri turibdi:

0 1 n  1 n
yoki

^{a L} _ ^y ( n ) ^{( t )}_ ^{ a L} _ ^y ( n  1 ) ^{( t )}_ ^{ ....  a L}  ^{y ( t )} ^{ a L}  ^{y ( t )} <sup>

L</sup>  ^{f ( t )}

0 0
a _ p ⁿ y ( t )  ( p ^{n 1} y


1 0
 a _ p ^{n 1} y ( p )  ( p ^{n  2} y
 p ^{n  2} y ^  ... 

0

0
 p ^{n  3} y ^  ... 

_y ( n  1 ) _{) }


0

0
y ^{n  2} )_  ... 

^{ a}_{n 1}  <sup>py ( p ) 

y 0</sup>  ^{ a}_n ^{y ( p )  F ( p )}

(2.1.6)

(2.1.6)- tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

y ( p )( a p ⁿ

 a₁ p  ....  a _{n 1} p  a _n ) 

F ( p ) 

• 
  
  0
  
  0 0
  a ( p ^{n 1} y
  

 p ^{n  2} y ^  

_y ( n  1 ) _{) }

0

0

1 0
 a ( p ^{n  2} y

 p ^{n  3} y ^  

y ^{( n  2 )} )  a ( p y 



y )  a y
0 n  1 0

(2.1.7)

0

0 n  2 0

0 1 n 1 n
(2.1.6) va (2.1.7) tenglama (2.1.5) differensial tenglamaning yordamchi tenglamasi yoki tasvirlovchi tenglamasi deyiladi.

Agar

a p ⁿ  a p ^{n 1}  ...  a p  a

  ( p ) va

0 0
a ( p ^{n 1} y 

p ^{n  2} y ^  

_y ( n 1 ) _{)  a ( p} n  2 _{y }

p ^{n  3} y ^  ... 

y ^{( n  2 )} )  ...

deb belgilasak, u holda

 a _{n  2} ( p y ₀ 




0

0 1 0

0

0

y )  a y
0 n 1 0

  _{n 1} ( p )

bo‟ladi

y ( p ) _n ( p ) 

F ( p )   _{n  1} ( p )

y ( p ) 

F ( p )

 _n ( p )

_  _{n 1} ( p )

 _n ( p )

(2.1.8)

Bu esa
y ( t )

– funksiyani tasviridir, yani

y ( p ) 

y ( t ) . Agar

y ( 0 ) 

y ^( 0 )  

y ^{( n 1)} ( 0 )  0

bo‟lsa, u holda (2.1.8) dan

kelib chiqadi.

y ( p ) 

F ( p )

 _n ( p )

(2.1.9)